ESPACIO VECTORIAL
4.1 Definición de espacio vectorial.
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío VV de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar
Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares αα y β reales.
Llamamos u+v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v∈V.
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.
W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V). W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
a. 0v está en W.
b. Si u y v están en W, entonces u+v está en W.
c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.
Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:
c1v1+c2v2+…+ckvk=0
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.
Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.
Dimensión del espacio vectorial es un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.
- S genera a V.
- S es linealmente independiente
En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
Propiedades
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
Propiedades de los productos interiores:
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano
El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro, es perpendicular al primero
El método consiste de dos proyecciones. La base ortogonal de R3 compuesta por u1, u2, u3, se calcula de la siguiente manera.
Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo, u1 = v1.
u2 se calcula como la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre u1. Dicha diferencia es perpendicular a u1. Es equivalente afirmar que u2 es la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre la recta que genera u1.
u3 es la diferencia entre v3 y el vector que resulta de proyectar a v3 sobre el plano generado por u1 y u2. La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano.
Alejandro Mollineda Garabito
Algebra lineal
Osmani González Puga
Mapa Mental(ESPACIO VECTORIAL)