Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
บทที่ 4 การอินทิเกรต และเทคนิคการอินทิเกรต - Coggle Diagram
บทที่ 4 การอินทิเกรต และเทคนิคการอินทิเกรต
วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันชนิดต่าง ๆ ด้วยสูตรการหาอนุพันธ์ ซึ่งเป็นการหาอนุพันธ์
ของฟังก์ชันได้อย่างรวดเร็ว สูตรที่สำคัญมีดังต่อไปนี้
เมื่อกำหนดให้𝑢 และ 𝑣 เป็นฟังก์ชันของ 𝑥 และ 𝑐 เป็นค่าคงตัว หรือตัวคงค่าเลือก
อินทิกรัลไม่จำกัดเขตถ้าฟังก์ชัน 𝐹(𝑥) มีอนุพันธ์ คือ 𝑓(𝑥) หรือ 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) เราเรียก 𝐹(𝑥) ว่า อินทิกรัลของ 𝑓(𝑥) จะแทนด้วยสัญลักษณ์ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑x
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐
การหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตเบื้องต้น หาได้จากสูตร
∫ 𝑎𝑣𝑑𝑢 = 𝑎 ∫ 𝑣𝑑𝑢
∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + c
∫(𝑣 ± 𝑤)𝑑𝑢 = ∫ 𝑣𝑑𝑢 ± ∫ 𝑤𝑑𝑢
การหาอินทิเกรตโดยวิธีเปลี่ยนตัวแปร
การอินทิเกรตโดยวิธีเปลี่ยนตัวแปรนี้ก็คือ การเปลี่ยนรูปของชุดตัวแปร หรือฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรต ให้อยู่
ในรูปสูตรการอินทิเกรตฟังก์ชันพื้นฐานในรูปของตัวแปร 𝑢 หรือ ก าหนดให้ 𝑢 = 𝑓(𝑥) และหาความสัมพันธ์ของ 𝑑𝑥 ในรูปของ 𝑑𝑢 แล้วแทนค่าในรูปอินทิเกรตที่
ก าหนดให้จะได้รูปการอินทิเกรตที่ก าหนดให้ในรูปของสูตรที่กล่าวมา
อินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิต
∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝑐
∫ csc2 𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝑐
∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝑐
∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = −csc 𝑢 + 𝑐
∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝑐
∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢| + 𝑐
∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = − ln|csc 𝑢| + 𝑐
∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝑐
∫ sec2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝑐
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑢 + 𝑐
การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีเลขชี้กำลัง
ก่อนที่จะใช้สูตรอินทิเกรต หลังฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละตัว กับหลัง 𝑑 ต้องเป็นตัวเดียวกัน
ถ้ายังไม่เป็นตัวเดียวกัน ต้องเปลี่บนให้เป็นตัวเดียวกันก่อน โดยอาศัยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร
ความสัมพันธ์พื้นฐานต่าง ๆ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือ 𝑠𝑖𝑛2𝑢 + 𝑐𝑜𝑠2𝑢 = 1
โดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละฟังก์ชันที่มีโดเมนเดียวกัน คือ
ฟังก์ชัน 𝑠𝑖𝑛 กับ 𝑐𝑜𝑠 มีโดเมนเดียวกัน
ฟังก์ชัน 𝑠𝑒𝑐 กับ 𝑡𝑎𝑛 มีโดเมนเดียวกัน
ฟังก์ชัน 𝑐𝑠𝑐 กับ 𝑐𝑜𝑡 มีโดเมนเดียวกัน
เพราะฉะนั้น หาการอินทิเกรตต่อไปนี้ เราจะกล่าวถึงเป็นคู่ ๆ ที่มีโดเมนเดียวกัน
การอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะโดยวิธีแยกเป็นเศษส่วนย่อย
การอินทิเกรตโดยวิธีแยกส่วน
𝑑(𝑢𝑣) = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢
ถ้าอินทิเกรตทั้งสองข้าง
จะได้ ∫ 𝑑(𝑢𝑣) = ∫ 𝑢𝑑𝑣 + ∫ 𝑣𝑑𝑢
ได้ 𝑢𝑣 = ∫ 𝑢𝑑𝑣 + ∫ 𝑣𝑑𝑢
หรือ ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
การอินทิเกรตฟังก์ชันกำลังสอง
(2) 1+tan^2𝑢=sec^2𝑢
(3) tan^2𝑢 = sec2𝑢 − 1
(1) sin^2𝑢 + cos^2𝑢 =1 sin2𝑢 = 1−cos^2𝑢 หรือ cos2𝑢=1−sin^2𝑢
