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Série de fourier da função sen³x - Coggle Diagram
Série de fourier da função sen³x
Séries Trigonométricas
\(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} [a_ncos(nx) + b_nsen(nx]\)
Série de Fourier
\(a_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)cos(nx)dx\)\) onde \(f\) é integrável em \([-\pi,\pi]\) e \(n \in \mathbb{N}\)
\(b_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)sen(nx)dx\) onde \(f\) é integrável em \([-\pi, \pi]\)
Se \(f\) é ímpar então \(a_n = 0, \forall n \in \mathbb{N}\)
Se \(f\) é par então \(b_n = 0, \forall n \in \mathbb{N}\)
Aplicações na matemática e física das séries de Fourier
Usadas para resolver equações do calor
Usadas na teoria dos números
Levou ao desonvolvimento da análise harmônica
Área da matemática que estuda e generaliza as noções de série de Fourier e transformada de Fourier
Teoria das aproximações
Usada para aproximar os valore de funções
O conjuntos das funções \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}\) integráveis em \([-\pi,\pi]\) formam um espaço de Hilbert
Adição e multiplicação por escalar dadas por \((f+g)(x)\) e \((cf)(x)\), com tais operações o conjunto é um espaço vetorial \(V\)
O espaço vetorial \(V\) junto com a operação dada por \(\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot\bar{g}(x).dx\), onde \(\bar{g}\) é o conjugado de \(g\) e \(f,g\in V\), forma um espaço de Hilbert
Por ter produto interno o espaço vetorial \(V\) é normado com a norma induzida dada por \(|| f || = \sqrt{\langle f,f \rangle}\)
Por ter normal o espaço \(V\) tem também a métrica induzida dada por \(d(f,g) = ||f-g||\), além disso o espaço métrico \((V,d)\) é completo
Aplicações na computação
Processamento de sinais
Compressão de imagens
Análise de áudio
Treinamento de rede convolucional