Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Coggle…
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M
Kí hiệu : M = max f(x)
b) Số M được gọi là giá trị nhất của hàm số y=f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = m
Kí hiệu : M = min f(x)
II. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
ĐỊNH LÝ
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó
BÀI TOÁN
CÁCH GIẢI
CÁCH GIẢI 1
B1: Lập BBT của hàm số trên [a,b]
B2: Dựa vào BBT để kết luận
CÁCH GIẢI 2 ( QUY TẮC TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN)
B1: Tính y'
B2: Tìm các điểm x1, x2,... xn ∈ (a,b) mà tại đó y'=0 hoặc ý không xác định
B3: Tính f(a); f(x1),f(x2),.. f(xn), f(b)
B4: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên [a,b]. M= max [a;b] f(x) , m = min [a,b] f(x)
Chú ý
Nếu hàm số y=f(x) luôn tăng hoặc giảm trên [a,b] thì max f(x) = max { f(a): f(b) }
BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
NHẮC LẠI ĐỊNH NGHĨA
Gọi k là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng (a;b) ; [a;b]; (-∞;a]; [b;+∞) và f là hàm số xác định trên k
*f(x) đồng biến trên k <=> ∀x1, x2 ∈ k : x1 < x2 -> f(x1) < f(x2)
*f(x) nghịch biến trên k <=> ∀x1, x2 ∈ k : x1 < x2 -> f(x1) > f(x2)
TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ DẤU CỦA ĐẠO HÀM
a) Định lý
cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên k
Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc k thì f(x) đồng biến trên k
Nếu f"(x) < 0 với mọi x thuộc k thì f(x) nghịch biến trên k
Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc k thì f(x) không đổi trên k
b) Định lý mở
f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ k và dấu bằng tại hữu hạn điểm
f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ k và dấu bằng tại hữu hạn điểm
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
Tìm TXD
TÍNH ĐẠO HÀM f'(x), giải phương trình f'(x) = 0 ( và tìm các điểm x, sao cho f'(x) không xác định)
SẮP XẾP CÁC ĐIỂM x1 THEO THỨ TỰ TĂNG DẦN VÀ LẬP BBT
NÊU KẾT LUẬN VỀ CÁC KHOẢNG ĐỒNG BIÊN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) ( có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0 ∈ (a;b)
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x ∈ (x0 - h; x0 + h) và ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x ∈ (x0 - h; x0 + h) và ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0
II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
ĐỊNH LÝ 1
Giả sử hàm số y= f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 -h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K{x0}, với h > 0
a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 - h ; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0; x0+ h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)
b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h ; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0; x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Chú ý
Tại điểm x0 đạo hàm của hàm của hàm số có thể bằng 0 hoặc không xác định
III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
QUY TẮC 1
1.Tìm TXD
Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định
Lập BBT
Từ BBT suy ra các điểm cực trị
ĐỊNH LÝ 2
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0-h; x0 +h), với h > 0 khi đó
a) Nếu f'(x0) = 0, f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'(x0) = 0, f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại;
QUY TẮC 2
Tìm TXD
Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi ( i= 1,2,3,..)
Tính f''(x) và f''(xi)
Dựa vào dấu của f''( xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN
I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y= f(x), xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a;+∞), (-∞; b) hoặc (-∞;+∞)). Đường thẳng y=y0 là TCN của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim x->-∞ y=y0
lim x->+∞ y=y0
II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
ĐỊNH NGHĨA
Đường thẳng x=x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim x->x0+ f(x)=+∞ ; lim x->xo- f(x) = -∞
lim x->x0+ f(x)=-∞ ; lim x->xo- f(x) = +∞
BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1.Tính TXD
2.Tính y'. Giải y;=0
Tìm các giới hạn và tiệm cận (nếu có)
Lập BBT
Kết luận các khoảng ĐB,NB (nếu có), cực đại, cực tiểu (nếu có)
6.Điểm đặc biệt
Vẽ đồ thị
II. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC
HÀM SỐ y= ax3 + bx2 + cx +d (a≠ 0)
y'=0 có hai nghiệm pb => đồ thị có hai cực trị
a>0 => đồ thị bên phải đi lên
a<0 => đồ thị bên phải đi xuống
y'=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm => đồ thị không có cực trị
a>0 => đồ thị bên phải đi lên
a<0 => đồ thị bên phải đi xuống
Hàm số y= ax4 + bx2 +c (a≠ 0)
y'=0 có 3 nghiệm phân biệt(a,b trái dấu) => Đồ thị có 3 điểm cực trị
a>0 => đồ thị quay lên
a<0 => đồ thị quay xuống
y'=0 có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm (a,b cùng dấu) => Đồ thị có 1 điểm cực trị
a>0 => đồ thị quay lên
a<0 => đồ thị quay xuống
Hàm phân thức bậc nhất chia bậc nhất y= ax + bx / cx + dx ( c≠ 0, ad - bc ≠ 0)
D = ad - bc >0
D = ad - bc <0
III. SỰ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho 2 hàm số y=f(x) và y= g(x) có đồ thị lần lượt là (C1), (C2) hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x)
số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của (C1) và (C2) * giả sử pt trên có nghiệm là x0,xi,...
tọa độ các giao điểm của (C1) và (C2) là M0 (x0; f(x0)) , M1 (x1; f(x1)),.......
