Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Chuyên đề 1:Hàm số Nguyễn Kim Cương - Coggle Diagram
Chuyên đề 1:Hàm số
Nguyễn Kim Cương
Sự biến thiên của hàm số
Định nghĩa :Kí hiệu K là 1 khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K b)Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K..
Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y= f(x)có đạo hàm trên K.Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K ( hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K).
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Xem thêm lý thuyết
Cực trị của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x0 ∈ (a ; b)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x0-h; x0 + h), x≠x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x0 .
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x0-h; x0 + h),x≠x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0
Định lí 1:Giả sử hàm sốy = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) (h > 0)và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x0}
a) Nếu f'(x) >0 trên khoảng (x0 -h;x0) và f'(x)<0 trên khoảng (x0 ;x0 +h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) NếuNếu f'(x) <0 trên khoảng (x0 -h;x0) và f'(x)>0 trên khoảng (x0 ;x0 +h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Định Lý 2:Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) (h > 0).
-Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
-Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại
Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
-Tìm tập xác định
-Tính f'(x).Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.
-Lập bảng biến thiên.
-Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
-Tìm tập xác định
-Tính f '(x). Tìm các nghiệm x0 của phương trình f '(x)=0
Tính f ''(x) và f ''(x0)suy ra tính chất cực trị của các điểm x0
Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất
Định Nghĩa:Cho hàm số y= f(x) xác định trên tập D
-Số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f trên D
⇔ f(x)≤M với ∀ x ∈ D
và ∃x0 ∈D sao cho f(x0)=M
Kí hiệu M=max f(x)
-Số M là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trênD
⇔f(x)≥M; ∀x ∈ D
và ∃x0 ∈D sao cho f(x0)=M
Kí hiệu M=min f(x)
Định lí 1:Hàm số liên tục trên một đoạn thì có GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số
Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1, 2, . . . , n) .
Tìm số lớn nhất M nà số nhỏ nhất m trong các số trên
Khi đó: max f(x)=max {f(a);f(b);f(xi)}
min f(x)=min {f(a);f(b);f(xi)}
Tìm các điểm xi ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó f'(xi) = 0 hoặc f'(xi) không xác định.
Đường tiệm cận
Đường tiệm cận ngang : - Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∝), (-∝; b) hoặc (-∝; +∝). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
. Đường tiệm cận đứng:- Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
Khảo sát sự biến thiên và Vẽ đồ thị của hàm số
2) Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 ax3+bx2+cx+d (a≠0)
1) Sơ đồ khảo sát hàm số
• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
• Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x) ;
• Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ;
• Bước 4. Tính giới hạn
và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);
• Bước 5. Lập bảng biến thiên;
• Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
• Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox, Oy, các điểm đối xứng, ...);
• Bước 8. Vẽ đồ thị.
4) Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến
(ab - bc ≠ 0)
3) Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
5) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: f(x) = g(x)
Bước 2. Giải phương trình trên ta tìm được x (chú ý điều kiện)⇒ y= ..
