SEGUNDA UNIDAD. ALGEBRA PARA ANALIZAR LOS OBJETOS GEOMÉTRICOS
Rodríguez Vázquez
Verónica Vianney Grupo: 562
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRIA CARTESIANA
APLICACIÓN DE LAS HERRAMIENTAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
ANGULO ENTRE DOS RECTAS
LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO Y LAS CÓNICAS .
APLICACIONES DE LA RECTA EN CONTEXTO
IDENTIFICACIÓN DEL TIPO DE CÓNICA QUE REPRESENTA LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
SEGUNDA PARTE
TERCERA PARTE
PRIMERA PARTE
Primero que nada debemos de saber cual es el eje x y cual es el eje y en un plano. El eje x por un lado es la recta horizontal del plano, mientras que el eje y es la recta vertical del plano. Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro partes denominadas primero, segundo, tercero y cuarto, cuadrantes. Entonces podemos decir que a cada punto P sele asignan unas coordenadas (a, b) a la letra a la llamamos coordenada x o abscisa, y la letra b es denominada coordenada y u ordenada, y el punto se puede encontrar en cualquiera de los cuadrantes
Para determinar la distancia entre dos puntos de un plano coordenado utilizamos la formula: d=√((x_2-x_1)²+(y_2-y_1)²) De igual manera la distancia entre dos puntos podemos considerarla como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
Otro tema importante en la geometría es el ángulo de inclinación de una recta, esta se define como el ángulo formado por una recta paralela al eje x y la recta en cuestión en sentido positivo
Para determinar el punto medio de un segmento usamos la siguiente fórmula (x1 + x2/ 2, y1 + y2/ 2) Para aplicar esta fórmula es suficiente recordar que la coordenada x del punto medio = al promedio de las coordenadas x. y que la coordenada y el punto medio = al promedio de las coordenadas y
Un tema que esta muy ligado con el ángulo de inclinación, es la pendiente que es la tangente del ángulo de inclinación de una recta, comúnmente representada con la letra m. Si la pendiente de una recta es indefinida, se concluye que el ángulo de inclinación es de 90°. En cambio si se conoce la pendiente, el ángulo de inclinación se puede calcular con la siguiente fórmula: θ= tan-1 m
Entonces la pendiente m de la recta l esta dada por: m = tanθ = cateto opuesto / cateto adyacente, entonces: m = Y2-Y1 / X2-X1
El ángulo entre dos rectas es el ángulo que se encuentra entre dos rectas que se cortan en un punto
Otro tema importante es el lugar geométrico que se define como un conjunto de puntos en el plano que satisfacen una propiedad geométrica determinada y que generalmente se enuncia en términos de ángulos o de distancias a puntos rectas o circunferencias fijas en el plano Estos son algunos de los lugares geométricos elementales
La recta que es el conjunto de todos los puntos en el plano que tomados dos a dos la pendiente en el segmento comprendido entre ellos es siempre constante
La circunferencia que es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo llamado centro
La parábola que es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo f y una recta fija l que está en el plano
La elipse que es el conjunto de todos los puntos en un plano cuya suma de distancias hacia: fijos en el plano es una constante positiva
La hipérbola que es el conjunto de todos los puntos de un plano la diferencia de cuyas distancias desde dos puntos fijos en el plano es una constante positiva
Para finalizar esta segunda parte veremos la ecuación punto pendiente de la recta, que como su nombre lo dice pasa por un punto de la recta y se utiliza su pendiente Esta es solo una de las muchas ecuaciones de la recta, por ejemplo a veces se simplifica la ecuación obtenida para saber más sobre la recta
Lo primero que vemos en esta tercera parte es la ecuación pendiente-ordenada de la recta que es la siguiente: y=mx+b en donde el número real b es la intersección en y de la gráfica, básicamente es una recta que tiene pendiente m e intersección con el eje y en b
Otro tema visto en esta parte fue la ecuación general de la recta, se obtiene la siguiente ecuación: ax + by + c = 0, donde a, b y c son números reales y diferentes de 0, es una ecuación lineal en x y y
La ecuación general de segundo grado se expresa de la siguiente forma: Ax2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0 y representa a una cónica en el plano, con esta formula podemos determinar varias cosas cosas y conocer que tipo de cónica será según su ecuación general, por ejemplo. Un plano horizontal fuera del origen y no paralelo al lado cónico del cono circular determina una elipse. Entonces podemos decir que la intersección de un cono circular y un plano en el espacio definen una curva representada por la ecuación general de segundo grado y qué representa una circunferencia una parábola una elipse o una hipérbola
Ahora hablaremos de el ángulo de inclinación de una recta y la pendiente. Las propiedades del rango de la función tangente nos permiten establecer algunas observaciones acerca de la pendiente de una recta de manera que:
Si una recta es horizontal su pendiente es 0
Si la recta tiene un ángulo de inclinación tal que 0°< θ < 90° entonces m>0
Si la recta tiene un ángulo de inclinación θ = 90°entonces la pendiente no está definida
Si la recta tiene un ángulo de inclinación tal que 90°< θ < 180° entonces m<0
La formula para saber el ángulo entre dos rectas es: tanθ = m2-m1 / 1 + m1m2. De esta formula podemos deducir condiciones necesarias y suficientes para que dos rectas sean paralelas o perpendiculares
Condición del paralelismo; esta dice que dos rectas con pendientes m1 y m2 son paralelas si y solo si m1 = m2
Condición de perpendicularidad; esta dice que dos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y solo si m1 m2 = -1
Para encontrar un punto que divide un segmento en una razón dada cualquiera r se utiliza la siguiente fórmula : P (x1+rx2 / r+1 , y1+ry2 / r+1)
Con las variaciones de esta fórmula podemos sacar los perímetros áreas y ángulos de algunos polígonos
Lo primero que tenemos que ver es el teorema de pendientes de rectas paralelas qué dice que dos rectas no verticales son paralelas sí y solo si tienen la misma pendiente
Si las pendientes de dos rectas no verticales no son iguales entonces las rectas no son paralelas y se intersecan exactamente en un punto el teorema de las pendientes de rectas perpendiculares proporciona información acerca de rectas que se cruzan formando un ángulo recto, el teorema dice que dos rectas con m1 y m2son perpendiculares si y solo si m1m2 = 1
Una forma cómoda de recordarlos condiciones sobre las pendientes de rectas perpendiculares es notar que m1 y m2 de vencer el negativo del recíproco entre sí es decir m1= -1/m2 y m2= -1/m1
Sabemos que la ecuación de segundo grado es Ax2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0 Una manera de determinar el tipo de cónica qué representa es a partir del discriminante o indica donde la ecuación general de segundo grado que se define cómo el número real: I=b2 – 4 ac
En términos del discriminante de la ecuación general de segundo grado puede representar una parábola una elipse o una hipérbola dependiendo de su signo
PARABOLA; 1=0
ELIPSE; 1<0
HIPÉRBOLA; 1>0
Pero además de estas reglas tenemos otras más especificas para saber que tipo de cónicas son, algunas incluso nos indican si son de forma canónica, todo dependiendo de su ecuación general