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선형대수 16일차 - Coggle Diagram

- - - - 성립하는 조건들
        
        \(AA^T\), \(A^TA\)를 고유값 분해를 하면 모두다 n개의 orthogonal한 관계를 가지며 거기에 해당하는 고유값들은 모두 양수이다
        
        spectral decomposition
        
        rank 1 outer product
        
        \(S = UDU^-1 = UDU^T = \lambda_1u_1u_1^T + \lambda_2u_2u_2^T \lambda_3u_3u_3^T ...... \lambda_nu_nu_n^T\)
        
        \(U\)는 orthonormal eigen vector 이다.
        
        positive definite matrics
        
        \( x^TAA^Tx = (A^Tx)^T(A^Tx) = \lvert\lvert A^Tx \lvert \lvert ^2 \geq 0\)
        
        \((AA^T)^T = A^TA\)가 성립하면 \(AA^T\)는 symmetric matrix이다.
        
        symmetric matrix의 Spectral Theorem
        
        정의 : \(S^T = S\)
        
        \(S\)는 항상 diagonalizable 하다
        
        \(S\)는 orthogonally 하다
        
        1번과 2번을 정리하면 symmetric matrix는 orthogonally diagoalizable하므로 행렬 \(S\)의 고유벡터(고유공간)은 서로 선형 독립일 뿐만 아니라 직교의 관계를 가진다.
        
        행렬 \(S\)는 \(det (A - \lambda I) = 0 \)에서 허근은 안나오며 무조건 실근이 나온다.
        
        multiplycity
        
        geometric multiplycity
        
        spectral decomposition
      - 왜 성립하는가?
        
        \(AA^T\)와 \(A^TA\)가 symmetric positve definite matric라서 성립가능
        
        어떠한 직각행렬 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)은 SVD가 항상 존재
        
        어떠한 정사각행렬 \(A \in \mathbb{R}^{m \times m}\)은 고유값 분해는 존재하지 않음, SVD는 항상 존재
        
        어떠한 정사각 symmetric positive (semi) definite matrix \(S \in \mathbb{R}^{n \times n}\)는 고유값 항상 존재, SVD도 항상 존재