Serie di funzioni

Se $f$ è dispari

Definizione

$\sum_{n=n_0}^{+\infty} f_n(x)$

$f_n(x)$ è una funzione di $x\in \mathbb{R}$ dipendente da $n$

Convergenza

Convergenza puntuale su un intervallo $A$

Detto in termini poco formali: la somma si avvicina a un certo valore

$\forall x\in A$ la serie numerica $\sum_{n=n_0}^{+\infty} f_n(x)$ risulta convergente

Convergenza assoluta su un intervallo $A$

$\forall x\in A$ la serie numerica $\sum_{n=n_0}^{+\infty} f_n(x)$ risulta convergente assolutamente

Convergenza totale su un intervallo $A$

$\forall x\in A$ la serie numerica $\sum_{n=n_0}^{+\infty} \sup_{x\in A} |f_n(x)|$ risulta convergente

Derivate e integrali con le serie

Serie derivabile termine a termine

Sia $f_n(x)$ derivabile su $[a, b]\ \forall n \geq n_0$
Sia $\sum_{n=n_0}^{+\infty} f_n(x)$ convergente in almeno un punto di $[a, b]$
Sia $\sum_{n=n_0}^{+\infty} f'_n(x)$ convergente totalmente su $[a. b]$

\[\frac{d}{dx} \left[\sum_{n=n_0}^{+\infty} f_n(x)\right] = \sum_{n=n_0}^{+\infty} \left(\frac{d}{dx}f_n(x)\right)\]

Serie integrabile termine a termine

Sia $\sum_{n=n_0}^{+\infty} f_n(x)$ convergente totalmente su $[a, b]$

\[\sum_{n=n_0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) = \int_a^b \sum_{n=n_0}^{+\infty} f_n(x)\]

Posso scambiare serie e integrale!

Posso scambiare / portare la derivata dentro e fuori dalla serie!

Serie di potenze

La serie di funzioni $\sum_{n=n_0}^{+\infty} f_n(x)$ è detta serie di potenze con centro $x_o\in \mathbb{R}$ sse $f_n(x) = a_n(x - x_0)^n$

Convergenza

Qualunque serie di potenze converge nel suo centro con somma $0$

Raggio di convergenza $\rho$

$\rho$: la serie converge se $|x -x_0| < \rho$, non converge se $|x - x_0| > \rho, \rho\in [0, +\infty]$

La serie converge assolutamente in $(x_0-\rho, x_0+\rho)$

La serie non converge se $|x - x_0| > \rho$

Non si può sapere a prescindere se la serie converga o meno in $x_0 \pm \rho$

Calcolo di $\rho$

\[\rho = \frac{1}{\eta},\ \ \eta = \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\]

\[\rho = \frac{1}{\eta},\ \ \eta = \lim_{n\to +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \]

Bisogna sostituire a $x$ i valori degli estremi e calcolare manualmente la convergenza della serie numerica (guarda qui a sinistra)

Derivate della serie

La serie delle derivate della serie è ancora una serie di potenze che ha lo stesso cerchio di convergenza di quella "originale"

\[\sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty (n + 1)a_n x^n\]

La somma $s(x)$ della serie è derivabile con derivata continua in $|x - x_0| < \rho$; la sua derivata $s'(x)$ è la somma della serie delle derivate

Estendendo il discorso, si ha $s(x) \in C^\infty((x_0 - \rho, x_0+\rho))$ e $s^{(n)}(x)$ è uguale alla somma della serie delle derivate $n-$esime di $s(x)$

Serie di Taylor

Una funzione generica $f(x) \in C^\infty(I)$ può essere rappresentata come somma di una serie di potenze nell'intervallo $(x_0 - \rho, x_0+\rho) \subseteq I$?

Se sì...

\[f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n, \ \ \ x\in (x_0-\rho, x_0+\rho)\]

Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor

$f(x)\in C^\infty((a, b))$
Esistono $M, L \geq 0 \ t.c.. \ | f^{(k)}(x)| \leq ML^k\ \forall x\in (a, b)$

La serie converge totalmente in $I_r = [x_0 - r, x_0 + r]$, comunque si scelga $r\in (0, \rho)$

Nota che l'intervallo di convergenza (e quello su cui la serie ha somma = $f(x)$) non è per forza l'intervallo su cui è infinitamente derivabile, ma può essere anche più piccolo!

Serie di Fourier

Si può trovare solo su funzioni $T$-periodiche

"Così come una funzione può essere approssimata da una serie di potenze con Taylor, può una funzione essere approssimata con una serie trigonometrica?"

\[ f\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty (a_k cos(kx) + b_k sin(kx) )\]

$a_k = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)cos(kx)dx $

$b_k = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)sin(kx)dx $

$f$ è sviluppabile in Serie di Fourier?

è sufficiente che $f$ sia integrabile!

Ma la serie di fourier converge a $f$?

Convergenza in norma quadratica:

Convergenza puntuale

Se $f: [0, T] \rightarrow \mathbb{R}$ è regolare a tratti (si può decomporre in intervalli su ciascuno dei quali è continua e derivabile, e agli estremi di ciascun intervallo esistono finiti i limiti di $f(x)$ e $f'(x)$)

Se $f:[0, T] \rightarrow \mathbb{R}$ è limitata e monotona a tratti (si può decomporre in intervalli su ciascuno dei quali è crescente o decrescente)

La serie di Fourier converge in ogni punto $t$ alla media del limite destro e del limite sinistro. Dunque:

Dove continua, converge a $f(x)$
Dove non continua, converge a $\frac{f(t^-)+f(t^+)}{2}$

oppure

Disuguaglianza di Bessel

Sia $f^2$ integrabile sul periodo $[0, T]$
Sia $S_nf(x)$ il polinomio di Fourier di ordine $n$ di $f(x)$

Allora:
$||S_nf(x)||^2 \leq ||f(x)||^2 $, ossia:
\[\frac{T}{2}\left(\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k^2 + b_k^2)\right) \leq \int_0^T [f(x)]^2 dx \]

Sia $f^2$ integrabile sul periodo $[0, T]$
Allora:
\[||S_nf(x) - f(x)||^2 = \int_0^t[S_nf(x) - f(x)]^2 dx \xrightarrow{n\to\infty} 0 \]
Ossia la serie di Fourier converge a $f$ in norma quadratica

Identità di Parseval

\[||f||^2 = \int_0^T [f(x)]^2 dx = \frac{T}{2}\left(\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2 + b_k^2)\right) \]

Ma la serie di fourier è derivabile termine a termine?

Sia $f\in C^1([0, T])$
Sia $f'$ di classe $C^1$ a tratti su $[0, T]$
Sia $f$ una funzione $T$-periodica

Allora la serie di Fourier di $f$ si può derivare termine a termine su $(0, T)$.
Se inoltre $f'_+(0) = f'_-(T)$, allora si può derivare termine a termine su $[0, T]$

Ma la serie di fourier è integrabile termine a termine?

Sì, solo se $f^2$ è integrabile sul periodo e $f$ è una funzione $T$-periodica

Serie trigonometrica

\[ \sum_{k = 0}^\infty (a_k cos(k\theta) + b_k sin(k\theta) )\]

Se $\sum_n |a_n|, \sum_n |b_n|$ sono convergenti, la serie trigonometrica converge totalmente in $\mathbb{R}$

Se ci sono simmetrie...

Se $f$ è pari

$b_k = 0\ \forall k$

Se $f$ è dispari

$a_k = 0 \ \forall k$

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)dx $ (se non si può ricavare da $a_k$ perché magari $k$ al denominatore)

Periodi $T \neq 2\pi$

$a_k = \frac{2}{T}\int_0^T f(x) cos(\omega kx) dx$

$b_k =\frac{2}{T} \int_0^T f(x) sin(\omega k x)dx$

$f\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k cos(\omega k x) + b_k sin(\omega k x) )$

Dove $\omega = \frac{2\pi}{T}$

Se ${a_n}$ è una serie positiva e monotonamente tendente a zero, le serie:
$\sum_n a_n cos(nx), \ \ \ \ \sum_n a_n sin(nx)$
convergono per ogni $x \in (0, 2\pi)$.
Negli estremi la serie dei coseni va valutata caso per caso.