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Serie di funzioni - Coggle Diagram

- - - - \(\rho\): la serie converge se \(|x -x_0| < \rho\), non converge se \(|x - x_0| > \rho, \rho\in [0, +\infty]\)
      - La serie converge assolutamente in \((x_0-\rho, x_0+\rho)\)
        
        La serie converge totalmente in \(I_r = [x_0 - r, x_0 + r]\), comunque si scelga \(r\in (0, \rho)\)
      - La serie non converge se \(|x - x_0| > \rho\)
      - Non si può sapere a prescindere se la serie converga o meno in \(x_0 \pm \rho\)
        
        Bisogna sostituire a \(x\) i valori degli estremi e calcolare manualmente la convergenza della serie numerica (guarda qui a sinistra)
      - Calcolo di \(\rho\)
        
        \[\rho = \frac{1}{\eta},\ \ \eta = \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\]
        
        \[\rho = \frac{1}{\eta},\ \ \eta = \lim_{n\to +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \]
  - - - Nota che l'intervallo di convergenza (e quello su cui la serie ha somma = \(f(x)\)) non è per forza l'intervallo su cui è infinitamente derivabile, ma può essere anche più piccolo!
    - - \[f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n, \ \ \ x\in (x_0-\rho, x_0+\rho)\]
    - - \(f(x)\in C^\infty((a, b))\)
        
        Esistono \(M, L \geq 0 \ t.c.. \ | f^{(k)}(x)| \leq ML^k\ \forall x\in (a, b)\)
- - - - \(a_k = \frac{2}{T}\int_0^T f(x) cos(\omega kx) dx\)
      - \(b_k =\frac{2}{T} \int_0^T f(x) sin(\omega k x)dx\)
      - \(f\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k cos(\omega k x) + b_k sin(\omega k x) )\)
      - Dove \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)
  - - - Se \(f\) è pari
        
        \(b_k = 0\ \forall k\)
        
        Se \(f\) è dispari
        
        \(a_k = 0 \ \forall k\)
  - - - Convergenza in norma quadratica:
        
        Disuguaglianza di Bessel
        
        Sia \(f^2\) integrabile sul periodo \([0, T]\)
        
        Sia \(S_nf(x)\) il polinomio di Fourier di ordine \(n\) di \(f(x)\)
        
        Allora:
        \(||S_nf(x)||^2 \leq ||f(x)||^2 \), ossia:
        \[\frac{T}{2}\left(\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k^2 + b_k^2)\right) \leq \int_0^T [f(x)]^2 dx \]
        
        Sia \(f^2\) integrabile sul periodo \([0, T]\)
        Allora:
        \[||S_nf(x) - f(x)||^2 = \int_0^t[S_nf(x) - f(x)]^2 dx \xrightarrow{n\to\infty} 0 \]
        Ossia la serie di Fourier converge a \(f\) in norma quadratica
        
        Identità di Parseval
        
        \[||f||^2 = \int_0^T [f(x)]^2 dx = \frac{T}{2}\left(\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2 + b_k^2)\right) \]
      - Convergenza puntuale
        
        Se \(f: [0, T] \rightarrow \mathbb{R}\) è regolare a tratti (si può decomporre in intervalli su ciascuno dei quali è continua e derivabile, e agli estremi di ciascun intervallo esistono finiti i limiti di \(f(x)\) e \(f'(x)\))
        
        La serie di Fourier converge in ogni punto \(t\) alla media del limite destro e del limite sinistro. Dunque:
        
        Dove continua, converge a \(f(x)\)
        
        Dove non continua, converge a \(\frac{f(t^-)+f(t^+)}{2}\)
        
        oppure
        
        Se \(f:[0, T] \rightarrow \mathbb{R}\) è limitata e monotona a tratti (si può decomporre in intervalli su ciascuno dei quali è crescente o decrescente)
      - Ma la serie di fourier è derivabile termine a termine?
        
        Sia \(f\in C^1([0, T])\)
        
        Sia \(f'\) di classe \(C^1\) a tratti su \([0, T]\)
        
        Sia \(f\) una funzione \(T\)-periodica
        
        Allora la serie di Fourier di \(f\) si può derivare termine a termine su \((0, T)\).
        Se inoltre \(f'_+(0) = f'_-(T)\), allora si può derivare termine a termine su \([0, T]\)
        
        Ma la serie di fourier è integrabile termine a termine?
        
        Sì, solo se \(f^2\) è integrabile sul periodo e \(f\) è una funzione \(T\)-periodica
- - - - Posso scambiare / portare la derivata dentro e fuori dalla serie!
  - - - Posso scambiare serie e integrale!