Probabilités
Loi binomiale de paramètre n et p
représentation d'une situation
Arbre de dénombrement
+probabilité sur les branches
Arbre pondéré
Variable aléatoire
Fonction X de Ω sur ℝ qui, pour tout élément de l'ensemble Ω fait correspondre un réel x
Si Ω est composé d'éléments isolés
X est une variable aléatoire discrète
notation
(X = x indice i ) avec 1 ≤ i ≤ n et x une valeur de X
2nd règle des nœuds
La somme des probabilités de chaque banche issue d'un même nœud est toujours égale à 1
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A barre) = 1 - P(A)
Si A ∩ B = ∅, alors A et B sont dits incompatibles
- P(Ω) = 1 (évènement certain)
- P(∅) = 0 (évènement impossible)
si A ∩ B = ∅
P(A U B) = P(A) + P(B)
Espérance de X E(X)
E(X) = ΣP(indice i) × x(indice i)
Un jeu est équitable quand le gain moyen E(X) est égal à 0
Variance de X V(X)
V(X) = Σ(de i=1 à n)P(indice i) × [ x(indice i) - E(X)]
Ecart type σ(indice x)
σ(indice x) = √V(X)
Théorème de König-Huygens
V(X) = Σ(de i=1 à n)P(indice i) × [ x(indice i) ]^2 - [ E(X)]^2
Définition
Variable aléatoire donnant le nombre de succès pour n répétitions , n ∈ ℕ
Notation
B(n ; p) , p la probabilité d'un succès et p ∈ ]0 ; 1[
Basée sur
Schéma de Bernoulli
Définition
Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
Epreuve de Bernoulli
Expérience aléatoire à 2 issues, S (succès) et E (échec)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi B(n ; p)
p(X = k) = (k parmi n) × p^k × (1 - p)^n-k , k un entier ∈ [0 ; n]