Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
SKUPOVI BROJEVA - Coggle Diagram
SKUPOVI BROJEVA
PRIRPDNI BROJEVI
Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N,a njegove elemente nazivamo prirodni brojevi.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...}
Najmanji element skupa prirodnih brojeva je broj 1, a najveći ne postoji.
Svaki prirodni broj n (osim 1) ima neposrednog prethodnika n-1
Svaki prirodni broj n ima neposrednog sljedbenika n+1
No={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
Parni brojevi su brojevi čije su zadnje znamenke 0, 2, 4, 6 ili 8
Neparni brojevi su brojevi čije su zadnje znamenke 1, 3, 5, 7, ili 9
Prirodni složeni brojevi
možemo ga rastaviti na proste faktore
PROSTI BROJEVI
Relativno prosti brojevi - brojevi čiji je najveći zajednički djelitelj broj 1
Prosti brojevi - brojevi koji su djeljivi samo sa 1 ili samim sobom
Svojstva prirodnih brojeva:
Asocijativnost zbrajanja (a + b) + c = a + (b + c) i Asocijativnost množenja (a ∙ b) ∙ c = a ∙(b ∙ c)
Komutativnost zbrajanja a + b = b + a i Komutativnost množenja a ∙ b = b ∙ a
Distributivnost množenja prema zbrajanju a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c, odnosno (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c
Neutralni element za množenje - a*1=a
CIJELI BROJEVI
Z = {-2, -1, 0, 1, 2}
Pozitivni cijeli brojevi: 1, 2, 3, 10, 5000
Negativni cijeli brojevi: -1, -2, -3, -10, -5000
Sve računske operacije (osim dijeljenja) sa cijelim brojevima kao rezultat daju cijele brojeve. produkt dijeljenja ne mora biti cijeli broj.
Ne postoje najmanji i najveći cijeli brojevi
Svojstva cijelih brojeva
Svojstvo oduzimanja cijelih brojeva: a-b=a+(-b); a+b=c, tj. a=c-b ili b= c-a
Svojstva zbrajanja cijelih brojeva:
Cijeli broj se ne mijenja ako mu se pribroji 0
2.Svojstvo komutativnosti: a+b=b+a
Svojstvo asocijativnosti: (a+b)+c=a+(b+c)
Svojstvo množenja cijelih brojeva: a
b + a
c = a* (b+c)
Svojstvo dijeljenja cijelih brojeva: a:b = c, tj. a = c*b.
Slijedbenik i prethodnik
Za operacije zbrajanja, dijeljenja i množenja, skup Z je zatvoren
RACIONALNI BROJEVI
Racionalni broj je broj nastao dijeljenjem cijelog broja sa prirodnim brojem, npr. 1:2, 1:3, 555:333.
Skup racionalnih brojeva {Q}, a uveden je zato što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva {Z}.
Racionalni broj se može napisati u obliku razlomka x/y gdje je x € Z, a y € N; x se naziva brojnik, a y nazivnik.
RAČUNSKE OPERACIJE S RACIONALNIM BROJEVIMA
Razlomci istih nazivnika se zbrajaju tako da se zbroje brojnici, dok je nazivnik rezultata jednak nazivniku razlomaka.
Razlomci različitih nazivnika se zbrajaju tako da ih svedemo na najmanji zajednički nazivnik i onda ih zbrojimo.
Umnožak dvaju razlomaka jednak je razlomku čiji je brojnik jednak umnošku brojnika, a nazivnik jednak umnošku nazivnika razlomaka koje množimo.
Razlomak se dijeli razlomkom tako da se djeljenik pomnoži recipročnom vrijednošću djelitelja.
Q= {a/b:a, b € Z, b različit of 0}, gdje je a/b=c/d <=>ad=bc
RAZLOMCI
Pravi razlomci - razlomci manji od 1
Nepravi razlomci - razlomak veći od 1
Zatvoren skup s obzirom na množenje, dijeljenje, zbrajanje i oduzimanje
Rezultat zbrajanja, množenja i oduzimanja racionalnih brojeva uvijek je racionalan broj
DECIMALNI BROJEVI
Konačan - ako je ostatak pri djeljenu 0
Beskonačan - ako ostatak nije 0 ili se ponavlja
REALNI BROJEVI
Obuhvaća racionalne i iracionalne brojeve
Oznaka skupa je R
SVOJSTVA REALNIH BROJEVA
Računske operacije na skupu R su definirane kao i za ostale skupove N, Z i Q, tj. za realne brojeve vrijede svojstva komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja i množenja, te distributivnosti množenja prema zbrajanju.
Skup R je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno realnih brojeva
Skup R je neprebrojiv
Elementi skupa R prekrivaju čitavi brojevni pravac
KOMPLEKSNI BROJEVI
Kompleksni brojevi su algebarski izrazi oblika a+bi, gdje su a i b realni brojevi, a i imaginarna jedinica koja ispunjava jednadžbu i^{2}=-1
Gaussova (kompleksna) ravnina je koordinatna ravnina koja prikazuje kompleksne brojeve.
Os x je realna os, a os y je imaginarna os.
Svojstva kompleksnih brojeva:
Zbrajanje konjugirano kompleksnih brojeva je jednako je zbrajanju konjugirano kompleksnih brojeva
Oduzimanje konjugirano kompleksnih brojeva jednako je razlici konjugirano kompleksnih brojeva
Množenje konjugirano kompleksnih brojeva jednako je umnošku konjugirano kompleksnih brojeva
Modul (apsolutna vrijednost) kompleksnog broja: IzI=√(a^2+b^2 )
IRACIONALNI BROJEVI
Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka
Primjer iracionalnog broja:π ili √2