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Métodos de Soluciones a Ecuaciones No Lineales, https://sites.google…

- - - - Pasos a seguir para utilizar el método de bisección:
        
        Se calcula el punto medio del intervalo y se le denota como “x”.
        
        Se evalúa f(a) × f(x). Si f(a) × f(x) < 0 quiere decir que la función sigue teniendo intercepto con el eje x entonces la “x” se convertirá en la nueva “b” y se repetirá el proceso. De lo contrario, se evalúa f(b) × f(x). Si f(b) × f(x) < 0 la “x” se renombrará y será la nueva “a” y se repetirá el proceso.
        
        Cuando f(a) × f(x) = 0, f(b) × f(x) = 0 o x = 0 quiere decir que esa “x” es la raíz que buscamos.
        
        Ventajas del método de bisección
        
        Siempre converge.
        
        Es útil como aproximación inicial de otros métodos.
        
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        Desventajas del método de bisección:
        
        Es de convergencia lenta.
        
        No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadas, solo tiene en cuenta el signo de f(x), lo que hace la aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida.
        
        Permite encontrar únicamente una raíz a la vez aunque existan varias en el intervalo.
        
        No puede determinar raíces complejas
  - - - Pasos a seguir para utilizar el método de regla falsa:
        
        Se calcula la intersección con el eje x de la recta trazada anteriormente y a este punto se le denotará como “x”.
        Para hallar la ecuación general que nos dará la “x” en cada recta trazada, primero hallamos la pendiente de la recta.
        
        Y luego hallamos la pendiente de la recta que quedaría desde el intercepto hasta el extremo del intervalo en donde la función cambie de signo.
        
        Igualando las ecuaciones de ambas pendientes (porque son triángulos semejantes) tenemos que:
        
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- - - - La tangente entre estos dos puntos escogidos se da por la expresión:
        
        Se retoma la fórmula utilizada en Newton-Raphson, pero en vez de utilizar la derivada de la función, se usa la derivada (pendiente) entre los dos puntos que se escogieron así:
        Siendo “xn-1” el primer punto del intervalo, “xn” el segundo y “xn+1” el punto que obtendremos.
        
        Pasos a seguir para utilizar el método de la secante:
        
        Se escogen dos puntos de partida.
        
        Se traza una recta secante entre esos dos puntos. A esta recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función.
        
        Una vez esta recta corte el eje x, la imagen correspondiente será tomada como el nuevo punto y se descartará el más lejano de los dos iniciales.
        
        Los valores se van reemplazando en secuencia estricta hasta encontrar la raíz, sin embargo puede suceder que los valores caigan de un mismo lado de la raíz y esto provocará divergencia.
        
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  - - - Estas tres condiciones son:
        
        Existencia: si g (la función) es continua en [a,b] y g(x) Î [a,b] para todo “x” Î [a,b], entonces la función tiene punto fijo.
        
        Unicidad: si además, | g’(x) | < 1 para todo “x” Î [a,b], entonces el punto fijo es único.
        
        Convergencia: si además, x0 Î [a,b], entonces la sucesión xn = g(xn-1) converge a ese punto fijo.
      - Pasos a seguir para utilizar el método de punto fijo:
        
        Se elige un “x” Î [a,b]. Lo llamaremos x0.
        
        Se evalúa este x0 en g(x) así: g(x0) = x1. Ahora evaluamos g(x1) = x2 y así sucesivamente hasta conseguir que g(xn) = xn.
        
        Cuando finalmente tengamos xn = g(xn), decimos que xn es la raíz que estábamos buscando.
        
        Ventajas del método de punto fijo:
        
        Converge con rapidez.
        
        Cuando converge, es de mucha precisión.
        
        No necesita de un intervalo para funcionar sino de únicamente un punto perteneciente al intervalo donde esté la raíz.
        
        Desventajas del método de punto fijo:
        
        No garantiza la convergencia.
        
        La función g(x) correcta puede ser muy compleja de encontrar.
        
        Hay infinidad de g(x) y no existe regla para escoger la correcta.
  - - - Esta aproximación inicial denominada como “xn” es el punto de partida y de allí se obtiene una mejor aproximación denominada como “xn+1”. Esta “xn+1” es el resultado de la siguiente función:
        
        La derivada del punto es la pendiente de la recta tangente:
        
        Con esta pendiente, desarrollamos la ecuación de punto pendiente:
        
        Utilizamos el punto de intersección en el eje x (xn+1,0):
        
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  - - - Su estructura es muy similar a la de Newton-Raphson, pero se requiere la segunda derivada y puede operar cuando la derivada es cero, inclusive, la hace más efectiva.
        
        En este método partimos de la ecuación que tenemos para Newton-Raphson y nuestra función ya no será f(x)=0 sino que será u(x)=0, siendo u(x)=f(x) / f’(x).
        
        Teniendo u(x) como nuestra nueva función, sacamos su derivada así:
        
        Metemos nuestra función y su derivada a la ecuación de Newton-Raphson de esta manera:
        
        Lo escribimos ahora de forma general para obtener la ecuación de Newton modificado o raíces múltiples con “xn+1” como la nueva mejor aproximación a la raíz y con “xn” como nuestro punto de partida. La ecuación queda de la siguiente forma:
        
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- - - - A y B , Son las Raíces de la Función.
  - - - Condiciones del Método:
        
        Para aplicar este método la función f(x)
        
        Debe ser real y continua
        
        Es conveniente usar tamaños de incremento acordes con el fenómeno analizado y el número esperado de raíces. (Si el incremento es muy grande se corre el riesgo de no detectar todos los intervalos donde existen raíces y si este es muy pequeño se corre el riesgo de volver el proceso muy dispendioso.)