INCERTIDUMBRE Y RIESGO

Elección bajo incertidumbre

  • Debe elegir entre prospectos de incertidumbre (o loterías)
  • Loteria: distribución de probabilidad sobre premios
  • Modelo de ut esperada VNM: medidas de aversión al riesgo, comparar prospectos de incertidumbre y crítica.

Riesgo

  • Asignar probabilidades de ocurrencia a c/u de los resultados
  • Tipos de probabilidades
    Objetivas, experimentos de situaciones idénticas a la situación en que estamos
    Subjetivas, experimentos similares pero no idénticos,
    Exógena (incertidumbre) y Endógena

Estado de la naturaleza

  • descripción de un resultado de incertidumbre
  • M.E y colectivamente exhaustivos (ocurre un solo evento a la vez y siempre ocurre un evento)
  • S = {s1, s2, .., sn}
  • Su probab de ocurrencia está entre 0 y 1

Loterías

  • Lista de premios contingentes a c/estado de la naturaleza. Variable aleat
  • Dist de probab de ocurrencia de c/estado -> l = ((x1, x2,..,xn),(p1,p2,..,pn))
    xk : premio que la lotería otorga cuando el estado k ocurre..
  • Un objeto es determinístico si tiene solamente un único resultado posible
    Lotería segura o cierta
  • Si otorga un premio x con probab 1 (certeza)
  • δx = ((x),1)
  • Lotería compuesta es una lotería de loterías
  • Valor esperado de una lotería es la suma ponderada de los resultados de la lotería contingente a la realización de un estado (probab de ocurrencia de c/estado en donde se producen dichos resultados) E[l1]
  • Varianza de una lotería es la suma ponderada (por las probab) de las desviaciones de cada resultado de la lotería respecto de su media elevadas al cuadrado
    Indica variabilidad de los resultados de la lotería. Medidor del riesgo

Criterios de elección en incertidumbre

Criterio de la media varianza

  • Agregar a la esperanza, la variancia de los resultados posibles
  • σ = E [ x - E(x)]
  • k = ∂E / ∂Var
    k indica cuánto tiene que variar E para compensar por un cambio de la varianza y mantener cte la valoración de la lotería

Criterio de la Ut Esperada

  • Preferencias sobre las loterías
  • Asignación de num u a los n resultados de lotería
    U(l) o E(u)= p1.x1 + p2.x2 ...
  • F de ut esperada VNM

Criterio del valor esperado

  • Elegir lotería cuyo valor esperado sea el máximo
  • Ej. Paradoja de San Petersburgo (lotería con probab muy alta da un premio muy bajo, pero cuyo valor esperado es infinito)
  • El valor de la riqueza que genera una determinada lotería no se mide por la cant esperada de la riqueza sino por la ut esperada
  • Indiv no está dispuesto a pagar una cant grande por participar en juego con ganacia valor esperado infinito

Planes de Consumo Contingente

  • Especificación del num de unid a consumir de cada producto que entra en la función de ut del indiv, en cada estado de naturaleza
  • Un PCC es una lotería
  • Plan de consumo cierto: num de unid de consumo es el mismo en los diferentes estados de naturaleza

Para k

  • k=0, indiv neutral al riesgo
    No es necesario adaptar la expectativa E para mantener valoración de la lotería
  • k>0, indiv adverso al riesgo
    Ante un incremento en la varianza (riesgo), es necesario aumentar el retorno esperado para mantener valoración de lotería
  • k<0, ind amante al riesgo
    Ante un incremento en la varianza (riesgo),es necesario reducir el retorno esperado para...

Teorema VNM

  • Supuestos
    Completitud, l1≥ l2 o viceversa
    Transitividad, l1 ≥ l2 ≥ l3, entonces l1≥l3
    Continuidad, existe un p,entonces pl1 + (1-p)l3
    Independencia
  • Si ≥ es un ordenamiento completo, transitivo, continuo e indep entonces existe u /
    E[u]l1 = U(l1) > E[u]l2 = U(l2)
    Función única salvo para transformaciones afines o lineales de la misma

Propiedades
La función VNM

  • Creciente y se puede expresar en función de la riqueza obtenida en cada estado
  • Aditiva en la ut que el indiv obtiene de cada estado de la naturaleza
    Suma ponderada de la ut de c/estado (Propiedad de ut esperada)
  • Transformación afín vs Transformación monotónica (aqui se pierde propiedad, salvo que g sea f lineal)

Loterías justas

  • Lotería es actuarialmente justa si su valor esperado E[l1]=0
    Si es > 0, es más que justa y se puede volver justa cobrando el derecho a jugar
  • Cuando hay 2 loterías con igual VE, las personas preferirán la de menor riesgo o menor variabilidad en el retorno
  • La concavidad de la f de ut VNM, la cual es heredada por la f de ut esperada, caracteriza la actitud del agente frente al riesgo

Equivalente Cierto

  • ut(w opt) = E [u(w0 + l)] = E(u(wf))
    wf = wo + l, ingreso final del indiv
  • Es la cant de dinero que hace indiferente al indiv entre enfrentar la lotería l y recibir con certeza w opt
    Precio de venta de una lotería
  • Cant exigida por el indiv para rechazar participar en la lotería
  • Es la diferencia entre el EC y la riqueza inicial (w opt-w0)
  • Si w opt < w0, entonces pv < 0, el indiv está dispuesto a pagar para desprenderse de la lotería
    Si w opt > w0, entonces pv > 0, está dispuesto a aceptar este valor para vender la lotería a un tercero
  • Para un indiv averso, basta con cambiar los datos de la lotería bajo consideración para obtener un pv + o -
  • No existe una relación clara entre act del indiv y signo del pv
    Prima por riesgo
  • Diferencia entre VE y pv
    ∆ = E[l] - w opt + w0
  • Max cant que un indiv estaría dispuesto a pagar con tal de deshacerse del riesgo
  • A veces se asume w0 = 0, entonces es entre VE y EqC
  • Pv influenciado por actitud frente al riesgo y naturaleza de lotería
  • La prima solo depende de la actitud

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Aversión al riesgo

Comportamiento del indv frente al riesgo

  • Dos alternativas ante situación de incertidumbre
    Participar (E[u(w0 + l)]) o no participar (u(E[w0]))

Tipos
Adversidad al riesgo

  • Participar en situaciones riesgosas le genera desut
  • La varianza de su lotería contribuye negativamente a su ut
    Neutralidad al riesgo
  • Indiferente entre enfrentar situación cierta o riesgosa
  • No toma en cuenta la varianza
    Amante al riesgo
  • Le agrada enfrentar situación riesgosa
  • La varianza de su lotería contribuye positivamente a su ut

Adversidad al riesgo

  • Prefiere recibir con certeza el VE de los resultados de la lotería antes que participar en la lotería misma
  • u(E[l]) > E[u(l)]
  • Desigualdad de Jensen, indica que la f. de ut es est. cóncava
  • Rechazará no solo participar en una lotería justa sino tbm en algunos juegos cuyo VE > 0
  • Estará dispuesto a pagar para evitar participar en una lotería (Prima por riesgo +)
  • Si hacemos que el juego deje de ser justo, y se vuelva màs que justo (VE >0), es probable que el indiv lo acepte
    1ra forma: aumentar el premio en caso de ganar o disminuir el derecho a la entrada

Neutralidad al riesgo

  • Indiferente entre loterìa segura que le otorga E[l] con probab 1 y lotería l
  • u(E[l]) = E[u(l)]
  • Desigualdad de Jensen, indica que la f. de ut es lineal (conca y conve a la vez)
  • No està dispuesto a pagar nada

Amante al riesgo

  • Nunca prefiere recibir E[l] con probab 1 que enfrentar lotería l
  • u(E[l]) < E[u(l)]
  • Desigualdad de Jensen, indica que la f. de ut es est convexa
  • No solo acepta jugar en loterías justas sino en algunos juegos cuyo VE < 0
  • Está dispuesto a pagar por participar en loterías más riesgosas (Prima por riesgo negativa)

¿Cómo medir grado de aversión?

  • Normalizando u''(.)<0 con u'(.) >0, Coeficiente de Aversiòn Absoluta al Riesgo (AAR)
    o ARelativa al riesgo

AAR

  • Loterías aditivas, si añade riqueza inicial segura w0, de manera que la riqueza final es wf = w0 + l
  • Var(wf) = var(l) no depende del nivel de ingreso
  • Lotería justa, u(pv + w0) = E[ [u(w0 + l)]
  • Ratio de la prima por riesgo es el coef de AAR
    u''(w0) / u'(w0)
  • Mientras más cóncava es la f de ut VNM, mayor es la prima por riesgo asociada a una determinada lotería

ARR

  • Lotería multiplicativa, sus resultados son una fracción de w0. Riqueza final wf = w0 (1+l)
  • Var(wf) = Var (w0(1 + l))
  • [u''(w0) / u'(w0)] w0
  • F. logarítmica: ratio cae con w0
  • F. exponencial: ratio es cte
    Verificar si β aumenta (aumenta curvatura de f), igual a 0 (neutral) o disminuye (f converge a ln)
  • F. cuadrática

Seguros

Demanda

  • Las personas tienden a ser adversas al riesgo
    Oferta
  • Cuando N aumenta, pueden aplicar la ley de los grandes nùm
  • Que las compañías de seguro sean neutrales al riesgo posibilita que haya intercambio con agentes que son aversos
    Seguro
  • Par de núm. reales (r,S), donde r es ratio de la prima de seguro y S, reembolso
  • Contrato o póliza (I, D): I, valor de póliza de seguro y D, deducible
  • S = L - D
    Si D=0, entonces la cobertura es completa S = L
  • r = I/D
  • Indiv paga póliza I = rS
  • Dado que r (determinado por la compañía), el agente decide la cant que desea pagar en concepto de póliza ya que elige S. p es exógeno
  • Riqueza final del indiv
    w1 = w0 - L - rS + S
    w2 = w0 -rS
  • E[u(w)] = pu(w1) + (1-p)u(w2)
  • PROBLEMA DEL INDIV
    max E[u(w)] = pu(w0 - L - rS + S) + (1-p)u(w0 - rS)
    CNPO: ∂E[u(w)] / ∂S = 0
    p u'(w0 - L - rS + S)(1-r) = (1-p)u'(w0 -rS)r
    LHS = RHS
  • LHS: Cada dólar extra de cobertura implica mayor riqueza cuando hay terremoto -> beneficio marginal
  • RHS: Cada dólar extra de cobertura implica menor riqueza cuando no hay terremoto (cmg)
    bmg = cmg
    u'(w0 - L - rS + S)(1-r) / u'(w0 -rS)

Oferta de seguro

  • Si la compañía de seguros es neutral al riesgo (f. ut lineal), max beneficios esperados
    E[π] = rS - (pS + (1-p)0)
  • Si opera mcdo compe, E[π] = 0
  • La compañía de seguros fija la prima r igual a la probab de que haya el suceso por el que se asegura p.
  • PAJ (r = p)
    (w0 - L - rS + S) = w0 -rS -> S* = L
    "seguro a todo riesgo"