Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Скупови бројева - Coggle Diagram
Скупови бројева
Комплекси бројеви (ℂ)
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
⊂ℝ⊂ℂ
Имагинарна јединица i је број за који вреди i² = -1
Имагинарни бројеви су бројеви облика yi,при чему је y реалан број,а i имагинарна јединица
Комплексни бројеви су бројеви облика z = x + yi ,где су x и y реални бројеви, а i имагинарна јединица.
Запис z = x + yi називамо алгебарски или стандардни облик
комплексног броја .
Коњуговано комплексни бројеви
За сваки коњуговано комплексан број z = x + yi, број z̅= x-yi називамо комплексно коњуговани број броја z.
Једнакост комплексних бројева
Два су комплексна броја z1 и z2 једнака ако и само ако имају исте реалне и исте имагинарне делове.
z1=z2 ⇔ Rez1 = Rez2 и Imz1 =
Imz2
Рачунске операције са комплексним бројевима:
z1 + z2 = (x1 + y1i)+(x2 + y2i)=(x, + x2)+(y1 + y2) - Сабирање
z1 - z2 = (x1 + y1i)–(x2 + y2i)=(x1 – x2)+(y1 - y2) - Одузимање
z1 ∙ z2 = (x1 + y1i (x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i+ y1x2i+y1y2i²=
=(x1x2 - y1y2)+(x1y2 + x2y1) - Множење
Тригонометријски приказ комплексног броја
тригонометријски приказ комплексног броја z је
z = r(cosφ + isinφ), где је r = |z|
модуо комплексног број.
Скуп свих комплексних бројева означавамо с ℂ из тога следи :
ℂ = { z = x + yi: x, y ∈ ℝ, i²= -1}
Реални бројеви (R)
Природни бројеви (ℕ)
Сабирање природних бројева
40 + 23 = 63
сабирак + сабирак = збир (сума)
комутативност сабирања: заменимо ли места сабирцима,збир остаје непромењен.
n + m = m + n за m, n ∈ ℕ
асоцијативност сабирања: променимо ли редослед сабирања више сабирака,збир се неће променити.
n + (m + k) = (n + m) + k за m, n, k ∈ ℕ
затвореност скупа ℕ
у
односу према сабирању: резултат сабирања природних бројева такође је природан број.
m, n ∈ ℕ ⇒ m + n ∈ ℕ
За природне бројеве вреди:
број један је најмањи природни број
не постоји највећи природни број
природних бројева има бесконачно много
Одузимање природних бројева:
40 - 23 = 17
умањеник - умањилац = разлика
Скуп природних бројева није затворен с обзиром на одузимање
Одузимање није комутативна рачунска радња
Одузимање није асоцијативна рачунска радња
Множење природних бројева
комутативност множења:заменимо ли места факторима, производ остаје непромењен
n ∙ m = m∙ n за m, n ∈ ℕ
асоцијативност множења: променимо ли редослед множења виче фактора,производ се неће променити
n ∙(m∙ k) = (n ∙m)∙ k за m, n, k ∈ ℕ
дистрибутивност множења
према сабирању:
за m, n, k ∈ ℕ вреди:
m · n + m · k = m · (n+k)
m · n + k · n = (m + k) · n
Делење природних брјева
20 : 5 = 4
дељеник : делилац = количник
Kaжемо да је број b дељив природним бројем a ако постоји природан број к такав да је:
b = k ∙ a
Кажемо да a дели b и пишемо а|b
Правила делења служе нам за испитивање је ли дани број дељив с фиксним делиоцем, али без провођења поступака делења.
Цели бројеви (ℤ)
ℤ = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
бесконачни су.
Сваки природан број је цели број ℕ ⊂ ℤ
Скуп ℤ је затворен с обзиром на
сабирање, одузимање и множење
Бројеви симетрично смештени на
бројевној прави с обзиром на нулу
називају се супротни бројеви.
Број 0 супротан је сам себи.
Супротни бројеви имају једнаке
апсолутне вредности.
Апсолутна вредност целог броја
различитог од нуле је увек позитиван
број.
1 more item...
Рационални бројеви (ℚ)
Рационални број је број који се може записати у облику разломка којему је бројилац цео број, а именилац природан број.
Скуп свих рационалних бројева означавамо с ℚ.
ℚ = {m/n : m∈ℤ,n∈ℕ}
За рационалне бројеве вреди:
рационалних бројева има бесконачно много
сваки цео број је рационалан број,ℤ⊂ℚ
скуп ℚ је затворен с обзиром на сабирање,одузимање, множење и делење( осим са нулом)
Рационалан број нема непосредног следбеника и непосредног претходника.
Мешовити број пример:
2· 3/5, 3· 5/6, 8· 2/9
Разломак пример:
13/5, 5/6...
Под рационалне бројеве спадају и децимални бојеви, који се деле на коначне и бесконачне, а бесконачни се још деле на периодичне и непериодичне.
Сваки рационални број има или коначан или бесконачан периодичан децимални приказ.
Ирационални бројеви (I)
Скуп ирацоналних бројева,скуп је свих бројева који се не могу написати у облику разломка.
То су на пример следећи бројеви: √2,π, 0.1234567891011,sin1...
То су и такође сви бројеви који се не могу
написати у облику разломка.
скуп свих рационалних и свих ирационалних бројева чине скуп реалних бројева.
У скупу реалних бројева за
рачунске операције сабирања имножења вреде следећа својства:
комутативност:
a + b = b + a
a∙ b= b∙ a за сваки a, b ∈ ℝ
асоцијативност
(a + b) + c = a + (b + c)
(a∙b) c=a (b ∙c) за сваки а, b, c ∈ R
дистрибутивност множења према
сабирању:
a ∙ (b + c) = a ∙b + a ∙ c
(a + b)∙ c = a ∙ c + b ∙ c за сваки а, b, c ∈ R
постојање неутралних елемената, 0 за сабирање и 1 за множење:
a + 0 = 0 + a = a
a ∙ 1 = 1 ∙ a = a, за сваки a ∈ R
постојање супротног броја
за сваки a ∈ R постоји -а ∈ R такав да
вреди: а + (-а) = (-а) + а = 0
постојање реципрочног броја
за сваки a ∈ ℝ{0} постоји 1/а ∈ ℝ
такав да вреди a·1/a=1/a·a=1