Скупови бројева
Комплекси бројеви (ℂ)
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
⊂ℝ⊂ℂ
Имагинарна јединица i је број за који вреди i² = -1
Имагинарни бројеви су бројеви облика yi,при чему је y реалан број,а i имагинарна јединица
Комплексни бројеви су бројеви облика z = x + yi ,где су x и y реални бројеви, а i имагинарна јединица.
Запис z = x + yi називамо алгебарски или стандардни облик
комплексног броја .
Коњуговано комплексни бројеви
За сваки коњуговано комплексан број z = x + yi, број z̅= x-yi називамо комплексно коњуговани број броја z.
Једнакост комплексних бројева
Два су комплексна броја z1 и z2 једнака ако и само ако имају исте реалне и исте имагинарне делове.
z1=z2 ⇔ Rez1 = Rez2 и Imz1 =
Imz2
Рачунске операције са комплексним бројевима:
z1 + z2 = (x1 + y1i)+(x2 + y2i)=(x, + x2)+(y1 + y2) - Сабирање
z1 - z2 = (x1 + y1i)–(x2 + y2i)=(x1 – x2)+(y1 - y2) - Одузимање
z1 ∙ z2 = (x1 + y1i (x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i+ y1x2i+y1y2i²=
=(x1x2 - y1y2)+(x1y2 + x2y1) - Множење
Тригонометријски приказ комплексног броја
тригонометријски приказ комплексног броја z је
z = r(cosφ + isinφ), где је r = |z|
модуо комплексног број.
Скуп свих комплексних бројева означавамо с ℂ из тога следи :
ℂ = { z = x + yi: x, y ∈ ℝ, i²= -1}
Реални бројеви (R)
Природни бројеви (ℕ)
Сабирање природних бројева
40 + 23 = 63
сабирак + сабирак = збир (сума)
комутативност сабирања: заменимо ли места сабирцима,збир остаје непромењен.
n + m = m + n за m, n ∈ ℕ
асоцијативност сабирања: променимо ли редослед сабирања више сабирака,збир се неће променити.
n + (m + k) = (n + m) + k за m, n, k ∈ ℕ
затвореност скупа ℕ
у
односу према сабирању: резултат сабирања природних бројева такође је природан број.
m, n ∈ ℕ ⇒ m + n ∈ ℕ
За природне бројеве вреди:
број један је најмањи природни број
не постоји највећи природни број
природних бројева има бесконачно много
Одузимање природних бројева:
40 - 23 = 17
умањеник - умањилац = разлика
Скуп природних бројева није затворен с обзиром на одузимање
Одузимање није комутативна рачунска радња
Одузимање није асоцијативна рачунска радња
Множење природних бројева
комутативност множења:заменимо ли места факторима, производ остаје непромењен
n ∙ m = m∙ n за m, n ∈ ℕ
асоцијативност множења: променимо ли редослед множења виче фактора,производ се неће променити
n ∙(m∙ k) = (n ∙m)∙ k за m, n, k ∈ ℕ
дистрибутивност множења
према сабирању:
за m, n, k ∈ ℕ вреди:
m · n + m · k = m · (n+k)
m · n + k · n = (m + k) · n
Делење природних брјева
20 : 5 = 4
дељеник : делилац = количник
Kaжемо да је број b дељив природним бројем a ако постоји природан број к такав да је:
b = k ∙ a
Кажемо да a дели b и пишемо а|b
Правила делења служе нам за испитивање је ли дани број дељив с фиксним делиоцем, али без провођења поступака делења.
Цели бројеви (ℤ)
ℤ = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
бесконачни су.
Сваки природан број је цели број ℕ ⊂ ℤ
Скуп ℤ је затворен с обзиром на
сабирање, одузимање и множење
Бројеви симетрично смештени на
бројевној прави с обзиром на нулу
називају се супротни бројеви.
Број 0 супротан је сам себи.
Супротни бројеви имају једнаке
апсолутне вредности.
Апсолутна вредност целог броја
различитог од нуле је увек позитиван
број.
Удаљеност целог броја од 0,назива
се апсолутна вредност.
Рационални бројеви (ℚ)
Рационални број је број који се може записати у облику разломка којему је бројилац цео број, а именилац природан број.
Скуп свих рационалних бројева означавамо с ℚ.
ℚ = {m/n : m∈ℤ,n∈ℕ}
За рационалне бројеве вреди:
рационалних бројева има бесконачно много
сваки цео број је рационалан број,ℤ⊂ℚ
скуп ℚ је затворен с обзиром на сабирање,одузимање, множење и делење( осим са нулом)
Рационалан број нема непосредног следбеника и непосредног претходника.
Мешовити број пример:
2· 3/5, 3· 5/6, 8· 2/9
Разломак пример:
13/5, 5/6...
Под рационалне бројеве спадају и децимални бојеви, који се деле на коначне и бесконачне, а бесконачни се још деле на периодичне и непериодичне.
Сваки рационални број има или коначан или бесконачан периодичан децимални приказ.
Ирационални бројеви (I)
Скуп ирацоналних бројева,скуп је свих бројева који се не могу написати у облику разломка.
То су на пример следећи бројеви: √2,π, 0.1234567891011,sin1...
То су и такође сви бројеви који се не могу
написати у облику разломка.
скуп свих рационалних и свих ирационалних бројева чине скуп реалних бројева.
У скупу реалних бројева за
рачунске операције сабирања имножења вреде следећа својства:
комутативност:
a + b = b + a
a∙ b= b∙ a за сваки a, b ∈ ℝ
асоцијативност
(a + b) + c = a + (b + c)
(a∙b) c=a (b ∙c) за сваки а, b, c ∈ R
дистрибутивност множења према
сабирању:
a ∙ (b + c) = a ∙b + a ∙ c
(a + b)∙ c = a ∙ c + b ∙ c за сваки а, b, c ∈ R
постојање неутралних елемената, 0 за сабирање и 1 за множење:
a + 0 = 0 + a = a
a ∙ 1 = 1 ∙ a = a, за сваки a ∈ R
постојање супротног броја
за сваки a ∈ R постоји -а ∈ R такав да
вреди: а + (-а) = (-а) + а = 0
постојање реципрочног броја
за сваки a ∈ ℝ{0} постоји 1/а ∈ ℝ
такав да вреди a·1/a=1/a·a=1