MÁTRIXOK TÍPUSAI, HASONLÓSÁGI TRANSZFORRMÁCIÓ

MÁTRIX TÍPUSOK

Egy nxn es mátrix karakterisztikus polinomja egy n edfokú polinom n db sajátértéke lehet az algebra alaptétele szerint

Sajátérték meghatározásakkor, a megfelelő algoritmus kiválasztásához a következő szempontokat kell figyelembe venni:

Minden sajátértékre szükség van, vagy csak néhányra


Sajátértékek kellenek csak, vagy a sajátvektorok is


Valós, vagy komplex a mátrix


Kicsi -e sok 0 tól eltérő számmal, vagy nagy és ritka


Vannak e speciális tulajdonságai, mint a szimmetria

Fontosabb Mátrix tulajdonságok

Szimmetrikus: Ha \(A = A^T\)

Ortogonális: Ha \(A^TA = I\)

Pozitív definit: Ha szimmetrikus és \( x^T A_x > 0\) minden nem 0 x vektorra

Normális: Ha \(AA^T = A^TA\)

Komplex megfelelője

Hermite szimmetrikus / Hermetikus

Unitér / H- Ortogonális

Normális / H-normális

MÁTRIXOK HASONLÓSÁGA

A mátrix hasonló B mátrixhoz, ha létezik olyan T reguláris HASONLÓSÁGI MÁTRIX, hogy:


\(B = T^{-1} AT\)

B mátrix \(\lambda\) sajátértékére érvényes


\(B y=\lambda y \quad \Rightarrow \quad T^{-1} A T y=\lambda y \quad \Rightarrow \quad A(T y)=\lambda(T y)\)

Tehát \(\lambda\) sajátértéke A mátrixnak is.

HASONLÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK: Amelyekkel egy mátrixot olyan kedvezőbb alakra alakítunk amiről a sajátértéket könnyen leolvashatjuk

Az összefüggés fordítva nem érvényes, ha két mátrixnak azonosak a sajátértékei attól még nem lesznek hasonlók

Nem mindig tudunk hasonlósági transzformációkkal diagonális mátrixot készíteni