MÁTRIXOK TÍPUSAI, HASONLÓSÁGI TRANSZFORRMÁCIÓ
MÁTRIX TÍPUSOK
Egy nxn es mátrix karakterisztikus polinomja egy n edfokú polinom → n db sajátértéke lehet az algebra alaptétele szerint
Sajátérték meghatározásakkor, a megfelelő algoritmus kiválasztásához a következő szempontokat kell figyelembe venni:
Minden sajátértékre szükség van, vagy csak néhányra
Sajátértékek kellenek csak, vagy a sajátvektorok is
Valós, vagy komplex a mátrix
Kicsi -e sok 0 tól eltérő számmal, vagy nagy és ritka
Vannak e speciális tulajdonságai, mint a szimmetria
Fontosabb Mátrix tulajdonságok
Szimmetrikus: Ha \(A = A^T\)
Ortogonális: Ha \(A^TA = I\)
Pozitív definit: Ha szimmetrikus és \( x^T A_x > 0\) minden nem 0 x vektorra
Normális: Ha \(AA^T = A^TA\)
Komplex megfelelője
Hermite szimmetrikus / Hermetikus
Unitér / H- Ortogonális
Normális / H-normális
MÁTRIXOK HASONLÓSÁGA
A mátrix hasonló B mátrixhoz, ha létezik olyan T reguláris HASONLÓSÁGI MÁTRIX, hogy:
\(B = T^{-1} AT\)
B mátrix \(\lambda\) sajátértékére érvényes
\(B y=\lambda y \quad \Rightarrow \quad T^{-1} A T y=\lambda y \quad \Rightarrow \quad A(T y)=\lambda(T y)\)
Tehát \(\lambda\) sajátértéke A mátrixnak is.
HASONLÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK: Amelyekkel egy mátrixot olyan kedvezőbb alakra alakítunk amiről a sajátértéket könnyen leolvashatjuk
Az összefüggés fordítva nem érvényes, ha két mátrixnak azonosak a sajátértékei attól még nem lesznek hasonlók
Nem mindig tudunk hasonlósági transzformációkkal diagonális mátrixot készíteni