선형대수 15일차
고유값 분해 응용
특이값 분해(singular value decomposition)
참고 사이트
정의
직사각 행렬 A∈Rm×n이 주어졌을 떄, 특이값 분해의 식은 A=U∑VT
\( det(A- \lambda I) = 0 \)근
5차 방정식
전부 1차로 인수분해되지 않는 이상 대각화가 불가능 할 수 있다.
\(U\)와 \(V^T\)는 직교 행렬이고 또한 orthonormal한 vector들로 이루어져 있음.
\( \lambda^n \) 으로 분해된 경우 n개의 중근을 가지는데, 실수근이 존재하지 않을 수 있다.
\(\sum\)은 고유값을 지닌 대각 행렬임
다만, \( \lambda \)의 값이 다르면 eigenvalue가 다른 것이므로 이에 따른 eigenvector는 linearly independant.
직교 행렬은 \(UU^T = U^TU = I\)의 식을 만족해야 함.
\((A- \lambda I)X = 0 \) 의 해를 구하는 추가적인 접근
orthonormal한 행렬은 길이가 1이고 수직의 관계를 가진 vector들로 이뤄짐
\(Av_i = \sigma_i u_i \)
\(AV = U\sum\)
즉, \(AV = U\sum \leftrightarrow A = U\sum V^T\) 를 만족하는 V와 U 벡터를 뽑아내는 과정