선형대수 3일

선형독립성

선형독립

선형의존

정의

벡터를 점진적으로 고려할 시, span이 증가하지 않는 경우가 발생한다.

b벡터가 모두 0벡터로 일 시(homogeneous equation),

각 벡터를 0으로 만드는 해

trivial solution

각 벡터를 0으로 만들지 않는 경우

값의 변경을 다시 상쇄하여 최종값을 0으로 만드는 벡터들이 존재한다.

문제

$v_4$ = $v_1 + v_2$ 와 같이 하나의 벡터가 다른 벡터로 정의 될 수 있는 상황이며, 이는 벡터에 의해 span이 증가하지 않는 상황과 같다.

$ \begin{bmatrix} 8 & 4 & 2 \\ 16 & 8 & 4 \\ 3 & 7 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} $

이 선형방정식은 모두 선형독립적인가?

스칼라와 재료벡터의 선형결합의 결과인 상수벡터가 Span안에 포함되어 해가 존재하는 상태

해가 존재하는데 유일하게 존재하면 재료벡터는 서로 선형 독립 관계임

해가 존재하는데 여러개 존재하면 재료벡터는 서로 선형 종속(선형의존) 관계임

재료벡터는 서로 선형독립의 관계임

단 하나의 평행사변형이 만들어지는 경우

재료벡터를 추가하면 Span이 늘어나는 경우

재료벡터를 추가하면 Span이 늘어나지 않는 경우

여러개의 평행사변형이 만들어지는 경우

재료벡터중에서 같은 공간에 포함되는 경우

새로운 벡터가 기존의 Span에 포함되는 경우 새로운 벡터는 다른 벡터들의 선형결합으로 표현이 가능

미지수의 개수 < 방정식의 개수인 경우 해가 유일하며 주어지는 벡터가 Span을 늘리면 선형 독립이 됨

미지수의 개수 > 방정식의 개수인 경우 해가 무수히 많이 존재하여 선형 종속이 됨

Formal Definition

상수벡터가 영벡터이면 어떠한 벡터의 Span이든지 포함이 되므로 최소한 1개의 해를 찾을 수 있기에 선형 종속임

최소한의 해인 가중치가 모두 0인 해를 trivial solution 이라고 부름

가중치중 어느하나라도 0이 아닌데 영벡터가 만들어지는 경우를 non-trivial-solution 이라고 부름

가중치가 0이 아닌 벡터들은 서로 선형결합으로 표현이 가능하다는 의미를 가집니다.

상수벡터가 0일때, 여러개의 해를 가지면 어떠한 b가 주어져도 해가 존재한다면 무조건 여러개의 해를 가지게 됩니다.