國企統計期中

fₓ(x)=(Cn取x)p^x(1-p)^n-x, x=0,1,......,n

Random Variables(r.v.)
隨機變數

丟一公正銅板兩次，正面為H反面為T
S={HH,HT,TH,TT}
令X為正面出現的次數
A1={HH}
A2={HT,TH}
A3={TT}
P(X=2)=P(A1)=1/4
P(X=1)=P(A2)=1/2
P(X=0)=P(A3)=1/4

把樣本空間的樣本點量化，變成數字，方便數學上的處理

可以把隨機變數想成事件
且這些事件形成一組分割

可以獨享、分享，不能貪心

<1>Discrete r.v.離散型隨機變數
Ex:暨大早上7點到晚上9點間車禍的次數

<2>Continuous r.v.連續型隨機變數
Ex：老李等公車的時間

discrete r.v.
之機率函數

fₓ(x)= P(X=x),∀x∈Rₓ

0,∀x∉Rₓ

0≤fₓ(x)≤1,∀x∈Rₓ (自機率第一公設)

加起來總和為1 (自機率第三公設)

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進行1次成敗試驗(只有兩種結果的試驗)，定義X表發生成功次數

```
Rₓ={0,1}
```

```
母數: p成功發生機率 0<p<1
```

```
fₓ(x)=p^x(1-p)^1-x ,x=0,1
```

```
E(X)=p
```

```
Var(X)=p(1-p)
```

<1>Bernoulli分配 X~Ber(p)

<2>Binomial分配 X~B(n,p)

進行n次獨立成敗試驗，定義X表發生成功次數

```
Rₓ={0,1,2,.....,n}
```

母數: p成功發生機率0<p<1, n試驗次數n∈ℕ

fₓ(x)=(Cn取x)p^x(1-p)^n-x, x=0,1,......,n

```
E(X)=np
```

```
Var(X)=np(1-p)
```

<3>Poisson分配 X~Poi(λ)

Poisson experiment
1.跟時間起點無關
2.極短的時間或區域內，最多一個偶發事件或不發生
3.在不重疊的時間區段(區域)內，偶發事件發生次數獨立
4.λ的比例伸縮性

在單位時間、線段、平面、空間上，操作Poisson experiment，定義X表發生偶發事件(rare events)之次數

```
Rₓ={0,1,2,.....,∞}
```

母數: λ發生偶發事件的期望次數λ>0

fₓ(x)=e^-λ*λ^x/x!, x=0,1,2,.....,∞

```
E(X)=λ
```

```
Var(X)=λ
```

Ex:暨大機車道從早上七點到晚上九點發生多少車禍
一條電纜上被老鼠咬破多少洞
一台螢幕上有幾個亮點

continuous r.v
之機率函數

機率密度函數下方在Rₓ範圍內所夾面積為1

連續型r.v.在任意單點上機率均為0

Describing Statistics
敘述統計
(不考)

古典機率論

中央趨勢量數

Mean
平均數

Mode
眾數

Median
中位數

離散趨勢量數

Variance
變異數

Standard Deviation
標準差

Skewness偏態

右偏分配：平均數>中位數>眾數

左偏分配：眾數>中位數>平均數

聯集交集

P(A)=[ II ]
P(A')=[ I ]

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

排列組合

條件機率

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

互斥:沒有共同元素

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A and B are mutually exclusive

獨立：若Ａ,B獨立，則
P(A|B)=P(A)
P(A∩B)=P(A)*P(B)

分割

兩兩互斥

集體包含

貝氏定理

Ex：年齡是台灣人的一組分割

用事前機率來計算出事後機率

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當n->∞,p->0，則
可用Poisson分配計算二項分配之近似值

實務：n≥100且np≤10

母數p就是老師簡報裡的裡的π

機率密度函數probability density function(p.d.f)

機率質量函數probability mass function(p.m.f)->就是機率

<1>Normal分配 X~N(μ,σ^2)

機率密度(probability density)呈現鐘型分配(bell-shaped)，常見於自然現象，又被稱高斯分配(Gaussian distribution)

```
Rₓ={x|-∞<x<∞}
```

母數: μ期望值-∞<μ<∞；σ^2變異數σ^2>0

fₓ(x)=(1/√(2π)*σ)*e^(-1/2)*(x-μ/σ)^2,-∞<x<∞

```
E(X)=μ
```

```
Var(X)=σ^2
```

Standardization標準化 Z=X-μ/σ^2

標準Normal分配 Z~N(0,1)

為何要標準化:
連續型隨機變數要計算機率必須積分
但我們積分很菜
因此標準化後我們就可以查表，以利計算