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LIMITES Y DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES - Coggle Diagram
LIMITES Y DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Limites - Definición
Si una función "f" de dos variables cuyos puntos cercanos arbitrariamente a (Xo;Yo); decimos que el limite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (Xo,Yo) es "L" y escribimos
CONTINUIDAD
Una función z=f(x,y) es continua en (a,b) si f(a,b) esta definida, lim f(x,y) existe y el limite es el mismo que el valor de la función f(a,b)
La grafica de una función continua es una superficie sin quiebres
Ejemplo
Demostrar que el lim (x,y) que tiende a (0,0) (x^2-3y^2)/x^2+2y^2 no existe
Dos maneras de aproximarse a (0,0) es cuando a lo largo del eje x (y=0) y a lo largo del eje y (x=0)
y=0 ------ lim f(x,0) que tiende a (0,0)= lim (x^2/0)/x^2+0) =1
x=0 ------ lim f(0,y) que tiende a (0,0)= lim (0-3y^2/)/0-2y^2+) =-3/2
Propiedades
Derivadas - Definición
Podemos definir la derivada de primer orden de una función de dos variables z=f(x,y) de la siguiente manera
En z=f(x,y) la derivada parcial con respecto a "x" en el punto (x,y) es:
En z=f(x,y) la derivada parcial con respecto a "y" en el punto (x,y) es:
Por lo general se haya fx(x,y) y fy(x,y) usando las reglas normales de las derivadas pero se debe mantener fija una variable.
Si z=(4x^3)(y^2)-4x^2+y^6+1, encuentre: a) dz/dx b)dz/dy
"y" debe permanecer como constante mientras se deriva "x"
dz/dx=12x^2y^2-8x
Para derivar "y" debe permanecer como constante "x"
dz/dy=8x^3y+6y^5
