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SURGIMIENTO DE LAS MATRICES, JOSIAS MEDINA HERRERA 3roA Ing.…
SURGIMIENTO DE LAS MATRICES
Definición
Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.
Una matriz es una tabla bidimensional de números en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, y registrar los datos que dependen de varios parámetros.
Notación y orden
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.
A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m x n), y a m y n dimensiones de la matriz.
Operaciones con matrices
Suma y resta
La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.
En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que
usamos para sumar dos o más matrices.
Multiplicación
Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
División
La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.
Clasificación de las matrices
Matriz cuadrada
: Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es (n x n)
Matriz rectangular
: Una matriz es rectangular si no es cuadrada, es decir, tiene diferente número de filas que de columnas
Matriz columna
: Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será (mx1)
Matriz triangular superior
: Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos
Matriz fila
: Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es (1xn)
Matriz triangular inferior
: si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal
Matriz nula
: Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero
Transformaciones elementales por reglón
La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.
Escalonamiento de una matriz
.
Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades: Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
Núcleo y rango de una matriz.
El núcleo de una matriz, también llamado espacio nulo, es el núcleo de la aplicación lineal definida por la matriz.
El rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales
Cálculo de la inversa de una matriz.
En el álgebra matricial, la división no está definida. La inversión de matrices es la contraparte de la división en álgebra. La inversa de una matriz está definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por resultado la matriz identidad, se denota como
Definición de determinante de una matriz
.
El determinante de una matriz de dimensión m x n es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria
Propiedades de los determinantes.
El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta: |A| = |At|. 2. El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| × |B|.
Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I. Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.
JOSIAS MEDINA HERRERA
3roA
Ing. Administración