Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG, - Quốc Vinh …
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
I) Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Lý thuyết
:blue_book:
1) Khái niệm mở đầu
Điểm: A, B, C,...
Đường thẳng: a, b, d,...
Mặt phẳng: (P), (Q), (α), (β)...
Điểm thuộc mặt phẳng: A ∈ (α), Α ∉ α
2) Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1:
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2:
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3:
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4:
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
=> Đường thẳng đi qua 2 điểm chung đó gọi là
giao tuyến
của 2 mặt phẳng.
Tính chất 6:
Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
3) Ba cách xác định một mặt phẳng
Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Kí hiệu: (ABC).
Nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
Kí hiệu: (d,A) hoặc (A,d)
Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. Kí hiệu: mp(a,b) hoặc (a,b)
4) Hình chóp và hình tứ diện
a, Hình chóp
Trong (α) cho đa giác lồi A1, A2...An. Lấy S không thuộc (α). Hình gồm đa giác A1A2...An và n tam giác SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1 được gọi là hình chóp n giác.
Kí hiệu: S.A1A2...An
Đỉnh: S
Đáy: A1A2...An.
Mặt bên: SA1A2,SA2A3,...
Cạnh bên: SA1,SA2,...
Cạnh đáy: A1A2,A2A3,...
b, Hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD được gọi là hình tứ diện.
Kí hiệu: ABCD
Các đỉnh: A, B, C, D.
Các cạnh: AB, BC,…
Các mặt: ABC, ABD,…
Hai cạnh đối diện là hai cạnh không đi qua một đỉnh.
Đỉnh đối diện với mặt.
Hình tứ diện đều có các mặt là những tam giác đều.
5) Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Định nghĩa:
là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó
Hình biểu diễn của một số hình thường gặp
Tam giác (đều, cân, vuông, nhọn, tù,...): Tam giác bất kì.
Hình bình hành tuỳ ý (hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật,...): Hình bình hành.
Hình thang tuỳ ý (cân, vuông,...): Hình thang, nhưng phải giữ nguyên tỉ số độ dài hai đáy.
Hình tròn: Elip.
Bài tập
:pencil2:
Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Cách giải:
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm
Điểm chung thứ nhất:
thường dễ tìm
Điểm chung còn lại:
tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng thuộc một mặt phẳng thứ ba (hai đường thẳng này không song song). Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai
Chú ý:
Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia
Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Cách giải:
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), có hai cách làm như sau
Trường hợp 1:
Nếu có sẵn một mặt phẳng (Q) ⊃ d và một đường thẳng a ⊂ (P). Giao điểm của hai đường thẳng không song song d và a chính là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Trường hợp 2:
Tìm một mặt phẳng (Q) ⊃ d, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt phẳng (P). Giao điểm của d và (P) chính là giao điểm của d và giao tuyến a vừa tìm.
Dạng 3: Tìm thiết diện của hình (H) cắt bởi mặt phẳng (P)
Cách giải:
Thiết diện là phần chung của mặt phẳng (P) và hình (H). Xác định thiết diện là xác định giao tuyến của mp (P) với các mặt của hình (H):
Thường tìm giao tuyến d đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt phẳng (Q) nào đó thuộc hình (H), giao tuyến này dễ tìm được.
Sau đó kéo dài d cắt các cạnh khác của hình (H), từ đó ta tìm được các giao tuyến tiếp theo.
Đa giác giới hạn bởi các đoạn giao tuyến này khép kín thành một thiết diện cần tìm.
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui,...
Cách giải:
Ba điểm thẳng hàng:
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó lần lượt thuộc hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β), thì suy ra ba điểm A, B, C nằm trên giao tuyến của (α) và (β), nên chúng thẳng hàng.
Ba đường thẳng đồng qui:
Ta tìm giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho, rồi chứng minh giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ ba.
Cụ thể như sau:
Chọn một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và b. Gọi I = a ∩ b.
Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a, tìm một mặt phẳng (R) chứa đường thẳng b, sao cho đường thẳng c = (Q) ∩ (R). Suy ra I ∈ c.
Vậy: 3 đường thẳng a, b, c đồng quy tại điểm I.
II) Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
Lý thuyết
:blue_book:
Vị trị tương đối của hai đường thẳng phân biệt
Khi a và b đồng phẳng
Hai đưởng thẳng song song: khi cùng nằm trong cùng 1 mặt phẳng và không có điểm chung
a//b ⇔ a ⋂ b= ∅
Hai đường thẳng trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt
a ⋂ b = {A, B} ⇔ A ≡ B
Hai đường thẳng cắt nhau: khi chỉ có 1 điểm chung là I
a ⋂ b= I
Khi a và b không đồng phẳng
⇔ a và b chéo nhau
Hai đường thẳng song song
Định lí 1:
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước,
có một và chỉ một
đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Định lí 2:
Nếu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao
tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một
song song với nhau.
Hệ quả:
Nếu hai mp phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí 3:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Bài tập
:pencil2:
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy
Cách giải
Sử dụng các tính chất trong định lí 2,3
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách giải
Cách 2 :
chứng minh hai đường thẳng đó cũng song song với đường thắng thứ 3
Cách 3 :
dùng định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng
Cách 4:
dùng các kết quả trong hình học phẳng để chứng minh song song như: đường trung bình, Thales,...
Cách 1: (dùng định nghĩa)
chứng minh hai đường thẳng a, b đồng phẳng và không có điểm chung
Dạng 3: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Cách giải
Cách 2:
Chọn (β) thích hợp chứa đường thẳng d.
Tìm giao tuyến a của (α) và (β).
Khi đó M = a ∩ d.
Khi đó M = d ∩ (α) .
Cách 1:
Tìm 1 đường thẳng a nằm trong (α) mà α ∩ d = M.
Khi đó M = d ∩ (α).
Dạng 4: Tìm giao tuyến, thiết diện bằng cách vẽ song song
Dạng 5:
Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Cách giải
Lưu ý:
Khi làm bước (1) ta sử dụng
tính chất 2
và
hệ quả của nó
.
Bước 1:
Chứng minh (α) ∩ (β) = AB.
(1)
Bước 2:
Chứng minh C thuộc (α) ∩ (β).
(2)
Từ
(1)
và
(2)
suy ra A, B, C thẳng hàng.
Cách giải
Bước 1:
Tìm 1 điểm chung A của (α) và (β).
Bước 2:
Dùng định lí 2 về giao tuyến hoặc hệ quả.
Bước 3:
Kết luận.
III) Đường thẳng song song với mặt phẳng
Lý thuyết
📘
1) Các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α), ta có 3 vị trí tương đối giữa chúng:
d và (α) cắt nhau tại điểm M, kí hiệu {M} = d ∩ (α) hoặc để đơn giản hơn ta kí hiệu M = d ∩ (α).
d song song với (α), kí hiệu d // (α) hoặc (α) // d
d nằm trong (α),
kí hiệu d ⊂ (α)
2) Tính chất và hệ quả
a, Tính chất
Định lí 1:
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d' nằm trong (α) thì d song song với (α).
Vậy: với d ∉ (α), d // d', d' ⊂ (α) => d // (α)
Định lí 2:
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) đi qua d và cắt (α) theo giao tuyến d' thì d' // d.
Vậy: với d // (α), d ⊂ (β), (α)∩(β)= d' => d' // d.
Định lí 3:
Cho 2 đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
b, Hệ quả
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Vậy: (α) // d, (β) // d, (α)∩(β)= d' => d' // d.
Bài tập
✏️
Dạng 2
: Xác định thiết diện song song với đường thẳng
Cách giải
Bước 1:
Ta hãy xét thiết diện của mặt phẳng (α) đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc (α) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng.
Bước 2:
Để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất:
(α) // d, d ⊂ (β), M ∈ (α) ∩ (β) => (α) ∩ (β) = d' // d, M ∈ d'.
Dạng 1:
Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
Cách 1:
Dùng điều kiện cần và đủ để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (α).
Bước 1
: Quan sát và quản lí giả thiết tìm đường thẳng ưu việt Δ ⊂ (α) và chứng minh d // Δ.
Bước 2
: Kết luận d // (α).
Cách 2:
Dùng định lí mặt chứa đường thẳng // với một mặt phẳng khác thì giao tuyến của 2 mặt phẳng song song với đường thẳng đó.
Bước 1
: Chọn (γ) ⊃ d, tìm (γ) ∩ (α) = Δ.
Bước 2:
Chứng minh d // Δ và kết luận d // (α).
IV) Hai mặt phẳng song song
Bài tập
✏
Dạng 2
Vì (α) song song với mặt phẳng, suy ra (α) song song với mọi đường thuộc mặt phẳng đã biết.
Sau đó tìm giao tuyến của (α) với các mặt của khối chóp. Dựa vào tính chất:
M ∈ (α) ∩ (P), (α) // d, d ⊂ (P)
=> (α) ∩ (P) = Mx // d.
Dạng 1
Cách 1:
Cơ sở của phương pháp chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) song song nhau là: Ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với mặt phẳng kia.
Bước 1:
Chứng minh mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng a', b' cắt nhau trong mặt phẳng (β).
Bước 2:
Kết luận (α) // (β) theo điều kiện cần và đủ.
Cách 2
Bước 1:
Tìm hai đường thẳng a, b cắt nhau trong mặt phẳng (α).
Bước 2:
Tìm hai đường thẳng a, b cắt nhau trong mặt phẳng (α).
Bước 3:
Kết luận (α) // (β).
Lý thuyết
📘
2) Tính chất
Định lí 1:
Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) song song với (β).
Hệ quả:
Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ nằm trong mặt phẳng (β) thì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β).
Lưu ý:
Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
Định lí 2:
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Hệ quả 2:
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hệ quả 1:
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì trong (α) có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α).
Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với (α). Ta phải chứng minh d thuộc (β) và (β) // (α)
⇒ d // (α).
Hệ quả 3:
Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α).
Định lí 3:
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Hệ quả:
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
Định lí Talet*:
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'.
1) Định nghĩa
Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung:
(α) // (β) ⇔ (α) ∩ (β) = ∅.
Chú ý: (α) // (β), d ⊂ (α) => d // (β).
- Quốc Vinh -
- Tuyết Nghi -
- Minh Châu -
