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Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem Lineares (EDOs de 1a Ordem…
Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem Lineares (EDOs de 1a Ordem Lineares) [Questão 6]
Conceito
EDO
Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que contém as derivadas de uma função desconhecida. De forma que as derivadas e a função envolvam apenas uma variável.
Ordem
A ordem de uma EDO é dada simplesmente pela derivada de maior ordem da equação. Ex:
y'''y + y'a(x) + y'' = b(x) tem ordem 3, pois a derivada de maior ordem que aparece é y'''
Linearidade
Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como: a(x)y' + b(x)y = c(x)
É chamada de ordinária pois envolvem derivadas em respeito a apenas uma variável
Aplicações na vida real
Decaimento Radioativo
Dinâmica de Populações
Capitalização de investimentos
Circuitos RC
Carga do capacitor:
EDO: Rdq/dt + q/C = U
Solução: q(t) = UC(1 - e^(-t/RC))
Técnicas para resolver EDOs
Fator Integrante
É uma função mi(t), de forma que quando multiplicamos ela por uma EDO que se encontra na forma: y' + ay = q(t), obtemos, no lado esquerdo, o que seria o resultado da derivada do tipo regra do produto entre as funções y e mi(t). Com isso, será possível isolar a função y e depois integrar o lado direito da equação para resolver-lá.
Vamos usar essa técnica para calcular a função q(t), que denota a carga de um capacitor em um certo instante de tempo t em um circuito RC.
Dado uma equação y' + p(t) = q(t)
mi(t) = e^(integral(p(x)dx)
Separação de variáveis
É uma técnica que envolve separar as variáveis de uma EDO, de forma que, todas as expressões que envolvam UMA variável fiquem de UM lado da equação, e todas as expressões que envolvam a OUTRA variável fiquem do OUTRO lado.
Após as variáveis terem sido separadas, integramos a equação dos dois lados e então a resolvemos
História
Desenvolvida ao mesmo tempo. porém por pessoas em lugares diferentes que não estavam trabalhando juntas
isaac Newton
Utilizou equações diferenciais para explicar o movimento das estrelas e dos corpos na terra, com sua lei da gravitação
Gottfired Leibniz