EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 2021/2 
Situações e Problemas
Técnicas de Integração
separação de variáveis
Integração por substituição Trigonométrica 
Integração por Partes 
Integração por Substituição
t é a variável independente e x é a variável dependente, a e k são os chamados de coeficientes.
Se uma equação envolve a derivada de uma variável com relação a outra, então a primeira é chamada variável dependente e a segunda de variável independente.
Integração por Frações Parciais 
Classifiçação de Equações Diferenciais
Variáveis
Classificação
Verificação de funções como solução de ED
II. Substitua cada derivada apresentada, sem alterar o valor
lógico da sentença.
y'=(dy/dx)
III. Realize as manipulações algébricas e verifique a igualdade,
bem caso afirmativo, verifica-se que é solução.
I. Analise a função dada e determine as derivadas apresentadas
na equação diferencial
fator integrante
Síntese
∫ cos(5x).dx = ∫ cos(u).du/5
∫ cos(5x).dx = 1/5∫ cos(u).du
1.Escreva a equação diferencial na forma padrão.
2 identifique p(x) e calcule o fator integrante
∫ cos(5x).dx = 1/5.sen(u).
∫ cos(5x).dx = 1/5.sen(5x) + C.
: 
3 Multiplique a equação na forma padrão por I(x).
4 O lado esquerdo da equação obtida em (3) ´e a derivada do produto do fator integrante e a variável
dependente y
Separe as variáveis e integre ambos os lados da equação encontrada em (4) e isole y (variável dependente) quando possível.
a classificação das equações diferenciais que envolvem funções de uma variável e suas derivadas são chamadas de ordinárias, já as que envolvem funções de muitas variáveis e suas derivadas são ditas parciais. A ordem da mais alta derivada que aparece na equação diferencial é a ordem da equação diferencial. Assim, as equações podem ser classificadas quanto ao tipo e a ordem.
Aplicações
Crescimento e Decrescimento
Resfriamento
Equação gerada pela proporcionalidade : 
<=
Para igualar multiplica-se por uma constante K : 
Para resolver uma equação diferencial usando separação de variáveis, nós devemos ser capazes de colocá-la na forma f(y)dy=g(x)dx em que f(x) é uma expressão que não contém x, e g(x) é uma expressão que não contém y.
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Transformada de La Place
EQUACOES DE CAUCHY EULER
Passo 1: A equação diferencial é transformada em uma equação algébrica, mediante ao cálculo de La Place.
Integrais Sucessivas
1 caso
2 caso
3 caso
1 caso
Equações lineares homogêneas
Passo 2: resolver a equação por meio de manipulações algébricas, obtendo-se uma solução.
raízes complexas conjugadas
raizes reais distintas
Passo 3: A solução é transformada na procurada da equação diferencial, utilizando-se a transformada inversa de Laplace.
raízes reais iguais
quando m1=m2, obtemos a solução
com a hipótese de que a equação auxiliar possui duas raízes distintas m1 e m2, encontramos a seguinte solução
de m1 e m2 sao complexas entao podemos escrever m= a+b, em que A e B > 0 sao reais e i^2=-1
EX.: 
Uma equação linear homogênea é uma equação que possui os termos independentes iguais a zero, por exemplo, 2x+5y-z = 0 é uma equação homogênea, portanto, podemos concluir que um sistema linear será considerado homogêneo se todas as suas equações tiverem os seus termos independentes iguais à zero.
Por Exemplo:
ay''+by'+cy=0
Procurar na tabela das transformadas de La place a equação para realizar a manipulação
1º caso
podemos considerar:
y= e^(mx)
y'= me^(mx)
y''+m²e^(mx)
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Exemplo
Equação do tipo y’’ = f(x). Nesse caso a solução é obtida mediante duas integrações
sucessivas.
Exemplo 1:
Encontre a solução geral da equação diferencial y’’ + e2x – cos x = 0
am²(e^(mx))+ bm(e^(mx))+c(e^(mx))=0
e^(mx)*( am²+bm+c)=0
e^mx=0
am²+bm+c=0 => tirar báskhara
2º caso
Equação do tipo y’’ = f(x, y’). Nesses casos, para encontrar a solução substitui-se y’ por
p na equação dada a fim de transformá-la numa equação de primeira ordem
Exemplo 2
Encontre a solução geral da equação diferencial x y’’+ y’ = 0 .
Encontre a solução geral da equação diferencial √𝒙 y’’ = y’ +5, sujeita as seguintes
condições iniciais: y’(0)=4 e y(0 )=9.
Substituir os valores de x em k para solucionar a equação manipulada.
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Inversa de LaPlace
Resposta
Regra 9
Para resolver equações diferenciais sujeitas as condições iniciais, lembrar da tabela auxiliar:
Resposta
Propriamente o nome dito, deverá ser realizado a operação inversa a da transformada de LaPlace, onde também deverá ser consultado a tabela, identificando a regra para realizar a substituição.
Resposta
condições resultantes das raízes obtidas:
Raízes reais distintas:
Raízes reais iguais:
Raízes conjugadas complexas:
Achar a regra na tabela e substituir os valores de k em x.
Para resolver equações diferenciais sujeitas as condições iniciais, lembrar da tabela auxiliar:
Consiste em aplicar LaPlace em toda a equação e após separar as variáveis até conseguir adequar nas regras da tabela, para aplicar a inversa de LaPlace.
Passo 1: Aplicar LaPlace em cada variável da equação.
Passo 2: Substituir as derivadas pelos valores da tabela auxiliar.
Passo 3: Adequar as equações deixando as variáveis em evidência.
Passo 4: Aplicar inversa de LaPlace no resultado da equação.
Passo 5: Substituir os valores encontrados nas regras da tabela.