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Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo, Teorema 1,…
Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:
Propiedades
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
i. T(0) = 0
Nota
En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W.
Ejemplo
Aquí surge una pregunta: si w1, w2,,,,,,,,,,,wn son n vectores en W, ¿existe una transformación lineal T tal que Tv1= w1 para i = w, para i = 1,2,,,,,,,,,n? La respuesta es si,
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1,w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n.
Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.
Propiedades
i._ nu T = {v € V: Tv = 0}
ii._ Im T= {w € W: w = Tv para alguna v € V}
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces
Observe que un T es no vacío porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T.
La imagen de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.
Demostración
i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) = = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T
ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.
Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.
Si T:V W es una transformación lineal, entonces
i.Un T es un subespacio de V.
ii.Im T es un subespacio de W.
Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.
Teorema 1
Teorema 2
Definición 1
Teorema 4
Ejemplo 1
Ejemplo 2
ii
i
