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TEOREMAS SOBRE DERIVABILIDAD, Si f1,...,fn : l -> R que son derivables…
TEOREMAS SOBRE DERIVABILIDAD
Si
f:I -> R
es
derivable en el punto c
, entonces
f es continua en c
El reciproco no se cumple
El contrapositivo es verdadero: Si
f:I -> R
no es
continua en el punto c
, entonces
f no es derivable en c
Sean
I en R
un intervalo, c en I.Y sean
f: I -> R
y
g: I -> R
funciones derivables en el punto c
Si
a
en R entonce la función
af
es derivable en el punto c
(af)´(c) = a(f´(c))
La función
f+g
es derivable en c
(f+g)´(c) = f´(c) + g'(c)
La función
fg
es derivable en c
(fg)´(c) = f´(c)g(c) + f(c)g´(c)
Si
g(c) distinto de 0
entonces
f/g
es derivable en el punto c
(f/g)´(c) = [f´(c)g(c) - f(c)g´(c)]
/
[g(c)]^2
Carathédory
: Sean
f : I -> R
y c en I.
f es derivable en c
Existe una función
H
que:
H : I -> R
,
es continua en c
, satisface
f(x)-f(c) = H(x)(x-c)
para toda x en I
y además
H(c) = f´(c)
Regla de la cadena
: Sean
g : I -> R
y
f : J -> R
funciones tales que
f(J) contenido en I
,
c en J
Si
f es derivable en c
y
g es derivable en f(c)
, entonces,
g o f
es derivable en
c
(g o f)´(c)= g´(f(c))f´(c)
Derivabilidad de la
función inversa
Sean
f : I -> R
estrictamente monotona y continua sobre I
. Sean
J := f(I)
y
g : J -> I
la inversa de f
Si
f es derivable en c
y
f´(c) distinto de cero
, entonces,
g es derivable en
f(c)
g'(f(c)) = 1/f´(c)
Si
f es derivable en c y f´(c) = 0
, entonces
g no es derivable en f(c)
Si
f1,...,fn
: l -> R que son derivables en punto
c en I
La función
f1+f2+...+fn
es derivable en c
(f1+f2+...+fn)´(c) = f1´(c) +...+ fn'(c)
La función
(f1)(f2)...(fn)
es derivable en c
[(f1)(f2)...(fn)]´(c) = f1´(c)f2(c)...fn(c)+f1(c)f2´(c)...fn(c)+ ... +f1(c)f2(c)...fn´(c)
Si
f1 = f2 = ... = fn
entonces
(f^n) = [n][f(c)]^(n-1)[f´(c)]
La
continuidad
es una condición necesaria para la existencia de la derivada pero
no es suficiente
Y:
Y:
Y:
Y:
Y:
Y:
Si y solo si
Y:
Y: