DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE
MOMENTO ANGOLARE/DELLA QUANTITA' DI MOTO
LAVORO (J, OVVERO 1N*1m, DUNQUE kg m^2/s^2)ED ENERGIA
PRESO UN PUNTO MATERIALE DI MASSA m CON VELOCITA' v RISPETTO AD UN PUNTO FISSO, LA SUA QUANTITA' DI MOTO E' p=mv
E' DEFINITO COME LA QUANTITA' Lo=r^p (SPESSO INDICATO CON L, MA DIPENDE DA O E CHE IL VETTORE POSIZIONE r VADA DA O A P)
POICHE' Lo=r^mv=OP^mv IL VETTORE L E' SEMPRE PERPENDICOLARE AL PIANO IN CUI GIACCIONO I VETTORI r e v
SE MOMENTO ANGOLARE RISPETTO AD UN POLO O'=/ O SI VEDE CHE Lo'=/ Lo
SE IL MOTO E' PIANO E IL POLO O E' CONTENUTO NEL PIANO, SI HA z=0 e pz=0 CON Lx=Ly=0
IL MOMENTO DELLA QUANTITA' DI MOTO L E' PERPEND AL PIANO ESSENDO SOLO Lz COMPONENTE NON NULLA
SCOMPORRE LA VELOCITA' V NELLE DUE COMPONENTI RADIALE E TRASVERSA vr e vteta E SI OTTIENE L=mr^v teta
POICHE' v teta=r dteta/dt SI HA INFINE L=mr^2 dteta/dt
CASO DEL MOTO CIRCOLARE
r=cost e dteta/dt= mr^2w
L E w SONO VETTORI ORTOGONALI AL PIANO E PARALLELI FRA LORO
Lo=r^mv=mr^2w
MOMENTO DELLA FORZA
DERIVARE Lo RISPETTO AL TEMPO
dLo/dt=r^F (IL PRODOTTO VETTORIALE r^F NON E' ALTRO CHE IL MOMENTO Mo DELLA FORZA F CALCOLATO RISPETTO AL POLO FISSO O
LA DERIVATA RISPETTO AL TEMPO DEL MOMENTO DELLA QUANTITA' DI MOTO DI UNA PARTICELLLA = MOMENTO DELLA FORZA AD ESSO APPLICATO
Mo=0 -> dLo/dt=0 ->Lo= cost
SE IL MOMENTO DELLA FORZA RISPETTO AD O E' NULLO ALLORA IL MOMENTO ANGOLARE RISPETTO AD O SI CONSERVA
POLO FISSO E MOBILE
POLO O' FISSO =/ O
O' MOBILE RISPETTO AL POLO O FISSO
Lo'=O'P^mv ; dLo'/dt=Mo'
dO'P/dt=d(-OO'+OP)/dt= -vo'+v
Mo'=dLo'/dt + vo'^p
TEOREMA DELL'IMPULSO DEL MOMENTO DELLA FORZA
DAL 2° PRINCIPIO DELLA DINAMICA RICAVIAMO dp=Fdt
INTEGRANDO LA VARIAZ DELLA QUANTITA' DI MOTO SUBITA DA UN CORPO SU CUI AGISCE UNA FORZA F PER UN TEMPO Dt
J=INT t2;t1 Fdt= p2-p1=Dp
INT t2;t1 Modt=Lo(t2)-Lo(t1)=DLo
L'IMPULSO DEL MOMENTO DI UNA FORZA APPLICATA AD UN PUNTO MATERIALE IN UN INTERVALLO DI TEMPO Dt PROVOCA UNA VARIAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE DATA DA
DLo=Lo(t2)-Lo(t1)
FORZE CENTRALI
FORZA DIRETTA SEMPRE VERSO UN PUNTO FISSO O, DETTO CENTRO DI FORZA, IL CUI MODULO DIPENDE SOLO DALLA DISTANZA
F=F(r)ur
SONO SEMPRE DIRETTE VERSO UN PUNTO O, IN OGNI PUNTO DELLO SPAZIO
IL MOMENTO DELLA FORZA RISPETTO AL POLO E' NULLO (BRACCIO DELLA FORZA SEMPRE ZERO)
IL MOMENTO DELLA QUANTITA' DI MOTO RISPETTO AL CENTRO DI FORZA O E' UNA COSTANTE DEL MOTO; Mo=0 -> Lo=cost
IN NATURA CI SONO MOLTE FORZE CENTRALI (GRAVITAZ, ELETTROSTATICA, NUCLEARE ETC) IN CUI IL MOMENTO ANGOLARE DEL CORPO SI CONSERVA
IN UN CAMPO DI FORZE CENTRALI IL MOMENTO DELLA Q.D.M. E' COSTANTE
UNA FORZA CENTRALE E' ANCHE CONSERVATIVA
2 CONSEGUENZE SUL MOTO DI UN CORPO SOGGETTO AD UNA FORZA CENTRALE
IL MOTO AVVIENE IN UN PIANO
LA VELOCITA' AREALE SPAZZATA DAL VETTORE POSIZIONE r E' COSTANTE
SE L E' COSTANTE (IN DIREZ E VERSO), ESSO IDENTIFICA IL PIANO AD ESSO PERPEND, PASSANTE PER O, DOVE GIACCIONO r E p; r GIACE SEMPRE NELLO STESSO PIANO E QUESTO VUOL DIRE CHE IL MOTO E' PIANO
IL LAVORO COMPIUTO DA F NON DIPENDE DAL PERCORSO MA SOLO DALLA DISTANZA DEL CENTRO DI FORZA O DI A E B
CHIAMIAMO LAVORO COMPIUTO DALLA FORZA F NELLO SPOSTAMENTO dr IL PRODOTTO SCALARE dL= F*dr
ENERGIA CINETICA
INDICARE CON ds IL MODULO dr E SCRIVIAMO DL=Fdscosteta (TETA ANGOLO TRA FORZA F E SPOSTAMENTO INFINITESIMO dr)
ESSENDO Fcosteta LA PROIEZIONE Ft DELLA FORZA LUNGO LA TRAIETTORIA, SCRIVIAMO dL=Ftds
IL LAVORO INFINITESIMO E' UGUALE AL PRODOTTO DELLO SPOSTAMENTO PER LA COMPONENTE DELLA FORZA LUNGO LO SPOSTAMENTO; SE LA FORZA E' PERPENDICOLARE ALLO SPOSTAMENTO IL LAVORO E' NULLO (FORZA CENTRIPETA/FORZA PESO AGENTE SU UN CORPO SUL PIANO ORIZZONTALE)
IL LAVORO TOT FATTO DA UNA FORZA F SU UNA PARTICELLA SARA' LA SOMMA DI TANTI CONTRIBUTI INFINITESIMI SUCCESSIVI L=F1d1+F2dr2+...
L=INT B; A F*dr=INT B;A Ftds
INT B; A Ftds E' UNA NORMALE INTEGRALE DI UNA FUNZIONE (DELL'ASCISSA CURVILINEA E DEVE ESSERE NOTA) DI UNA VARIABILE
INT B;A F*dr SI HA CHE F E' UNA FUNZIONE DI 3 VARIABILI, CON VALORE CHE CAMBIA DA PUNTO A PUNTO IN MODULO DIREZIONE E VERSO (CAMBIANO I VALORI DEI PRODOTTI SCALARI INFINITESIMI ANCHE SE A E B FISSATI)
E' UN INTEGRALE DI LINEA/CURVILINEO: IL CALCOLO VIENE EFFETTUATO LUNGO I PUNTI DI UNA CURVA NELLO SPAZIO
L'INTEGRALE DI LINEA DIPENDE DAL PERCORSO, OVVERO DALLA CURVA GAMMA LUNGO CUI SI EFFETTUA L'INTEGRAZIONE ( DA SPECIFICARE NELL'INTEGRALE)
POTENZA (1w= 1J/1s= N m/s= kg m^2 s^-3)
LAVORO COMPIUTO NELL'UNITA' DI TEMPO
POTENZA ISTANTANEA: P=dL/dt, DUNQUE P=dL/dt=Fdr/dt=Fv
POTENZA MEDIA NEL TEMPO MEDIO <P>= 1/t INT t;0 dL=L/t IL LAVORO COMPIUTO NEL TEMPO t DIVISO PER IL TEMPO t
ENERGIA ASSOCIATA AD UN CORPO IN MOVIMENTO (NON E' UNA FUNZIONE DI STATO E NON DIPENDE DALLE COORDINATE X,Y,Z)
E=1/2 mv^2; POICHE' p=mv, E= P^2/2m
TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA/DELLE FORZE VIVE: IL LAVORO SU UNA PARTICEKKA E' UGUALE ALLA VARIAZIONE DELLA SUA ENERGIA CINETICA
RISULTATO GENERALE INDIPENDENTE DA
CURVA D'INTEGRAZIONE GAMMA
MASSA M DELLA PARTICELLA
NATURA E FORMA DELLA FORZA
LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE IN MODULO E DIREZIONE
IL LAVORO FATTO DA F NON DIPENDE DAL PERCORSO GAMMA CHE UNISCE A E B
L E' UGUALE ALLA DIFFERENZA TRA I VALORI DEL PRODOTTO F*r CALCOLATI AGLI ESTREMI DELLA TRAIETTORIA
FORZE CONSERVATIVE
FORZE LA CUI DIPENDENZA DALLE COORDINATE SPAZIALI X,Y,Z DELLA PARTICELLA E' TALE CHE L=INTB;A F*dr DIPENDA SOLO DALLA POSIZ IN E FIN DELLA PARTICELLA
ENERGIA POTENZIALE
L= INT B;A F*dr= Ua-Ub (LAVORO INDIPENDENTE DAL PERCORSO)
E' UNA FUNZIONE PRIMITIVA DI F DALLE COORD SPAZIALI TALE CHE LA DIFF FRA I SUOI VALORI DI POS IN E FIN = LAVORO COMPIUTO SULLA PARTICELLA PER SPOSTARLA DA POSIZ IN A FIN
PER OGNI FORZA CONSERVATIVA SCRIVIAMO U(x,y,z)=- INT F*dr+C (FUNZIONE NOTA A MENO DI UNA COSTANTE IL CUI VALORE E' SCELTO A PIACERE POICHE' I VALORI SI ELIDONO DELLA DIFF PER AVERE IL LAVORO)
PER OGNI FORZA COSTANTE U=-F*r+C; PER LA FORZA PESO U=mgy+C
SE IL PERCORSO E' CHIUSO, P PARTENZA E ARRIVO COINCIDONO E L=0 (IN ALCUNE PARTI L + E ALTRE L-
INTEGRALE CICLICO (ESTESO AD UN PERCORSO CHIUSO)
F FORZA CONSERVATIVA -> L= INT CICL F* dr=0
ESEMPI DI EN POTENZIALE
FORZA ELASTICA F=-kxux
FORZA GRAVITAZIONALE F=-k/r^2 *ur (k=Gm1m2)
FORZA PESO F=mg
U(r)=-k/r +C (EN POTENZ NULLA A DISTANZA INFINITA; SUP EQUIPOT SONO SUP SFERICHE CONCENTRICHE)
F=P=mg=uymg ed rb-ra= (xb-xa)ux+(yb-ya)uy+(zb-za)uz
L= -(Ub-Ua)=mgya-mgyb (IL LAVORO DIPENDE SOLO DALLA DIFFERENZA DI QUOTA TRA I 2 PUNTI ESTREMI
L=-(Ub-Ua)=-(1/2 kxb^2 - 1/2 kxa^2) (EN POTENZ NULLA NELL'ORIGINE)
PRINCIPIO DI CONSERVAZ EN MECCANICA
L=Eb-Ea=Ua-Ub=DEab=-DUab, DUNQUE Eb*Ub=Ea+Ua
H=E+U (EN MECC TOT DELLA PARTICELLA)
Hb=Ha IMPLICA CHE QUANDO LE FORZE SONO CONSERVATIVE, L'EN MECC TOT H DI UNA PARTICELLA RESTA COST
QUALUNQUE SIA LA FORZA (CONSERVATIVA) E QUALUNQUE SIA IL PUNTO DELLO SPAZIO, RISULTA H=COST
H=1/2mv^2+mgy=cost (FORZA PESO)
H=1/2mv^2+ 1/2 kx^2=cost
MOTO RETTILINEO SOTTO FORZA CONSECUTIVA
U DIPENDE SOLO DALLA COORD X ED H E' UNA COST DEL MOTO
QUALORA SI POSSA CONOSCERE LA FUNZ CHE ESPRIME L'EN POT (SOLOX), IL PRINC DI CONS DA' DIRETT LA SOLUZ DEL MOTO RETTILINEO
FORZE NON CONSERVATIVE
FORZA DI ATTRITO (RADENTE SI OPPONE SEMPRE ALLO SPOSTAMENTO E IL SUO LAVORO DIPENDE DAL CAMMINNO PERCORSO
Ltot=Lc+Lnc=-(Uf-Ui)+Lnc=Ef-Ei
FORZA PER LA QUALE Hf=/Hi, PER CUI Lnc=INT CICL F*dr=/0