capitolo 1 matematica
che cosa sono i numeri naturali?
i numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...
l'insieme dei numeri naturali si indica con la lettera ℕ
i numeri naturali si posso rappresentare su una semiretta orientata, a partire dall'origine 0 verso destra.
dati due numeri naturali, si può stabilire se il primo è maggiore del secondo o viceversa con i simboli maggiore (>) e minore (<)
esempio: 3 > 2 o 2 < 3
l'insieme ℕ si dice discreto perché tra due punti (per esempio 2 e 3) ci sono punti infiniti che non rappresentano numeri naturali
le quattro operazioni
con i numeri naturali si eseguono le operazioni di:
- addizione
- sottrazione
- moltiplicazione
- divisione
i due numeri con i quali si opera, sono chiamati operandi
gli operandi dell'addizione sono gli addendi e il risultato è la somma
gli operandi della sottrazione sono il minuendo e il sottraendo e il risultato è la differenza
gli operandi della moltiplicazione sono i fattori e il risultato è il prodotto
gli operandi della divisione sono il dividendo e il divisore e il risultato è il quoziente
fra le quattro operazioni solo l'addizione e la moltiplicazione danno sempre come risultato un numero naturale, per questo si dice che l'addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne in ℕ
la sottrazione e la divisione agiscono in modo contrario all'addizione e alla sottrazione e per questo sono chiamate operazioni inverse
I numeri 0 e 1
Il numero 0
Lo 0 sommato o sottratto a qualsiasi numero da come risultato il numero stesso, per questo motivo è detto elemento neutro dell'addizione
Lo 0 moltiplicato a un qualsiasi numero da come risultato se stesso, per questo viene detto elemento assorbente della moltiplicazione.
Il numero 1
Moltiplicando o dividendo qualsiasi numero per 1 si ottiene come risultato il numero stesso, per questo 1 è detto elemento neutro della moltiplicazione
Le potenze
Ci sono moltiplicazioni particolari dove tutti i fattori sono uguali.
esempio: 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Per evitare scritture così lunghe sono state introdotte le potenze. Per esempio: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 si scrive 2⁷ e si legge "2 alla settima"
Il numero 2 è la base (il numero che deve essere moltiplicato) e il 7 è l'esponente (il numero di fattori uguali)
Elevando un numero diverso da 0 a 0 si ottiene 1
esempio: 2⁰ = 1
0⁰ non ha significato.
Elevando a 1 un numero naturale si ottiene il numero stesso
esempio: 2² = 1
Espressioni con i numeri naturali
Se vogliamo eseguire una sequenza di operazioni con i numeri naturali risolviamo un'espressione.
esempio:
Le operazioni vanno eseguite in un ordine preciso: vengono calcolate per prime le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni e infine le addizioni e le sottrazioni
esempio: 10 + 2 x 3 = 10 + 6 = 16
10 + 2 x 3 = 12 x 3 = 36 è sbagliato
Espressioni con le parentesi
Le parentesi servono ad alterare la priorità delle operazioni
esempio: se abbiamo 20 : 2² eseguiamo prima la potenza, ma se abbiamo (20 : 2)² allora eseguiamo prima la divisione
Proprietà delle operazioni
Proprietà commutativa
Dell'addizione
Della moltiplicazione
In un'addizione, se si cambia l'ordine degli addendi, il risultato non cambia.
In una moltiplicazione, se si cambia l'ordine dei fattori, il risultato non cambia.
Proprietà associativa
Dell'addizione
Della moltiplicazione
La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine.
La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine.
Proprietà distributiva
Della moltiplicazione rispetto all'addizione
Della divisione rispetto all'addizione
Quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato non cambia.
Quando si deve dividere una somma per un numero, si può dividere ciascun addendo per quel numero e poi sommare i quozienti ottenuti, e il risultato non cambia.
(a + b) : c = a : c + b : c
Proprietà invariantiva
Della sottrazione
Della divisione
In una sottrazione, se si aggiunge o si toglie uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia.
In una divisione, se si moltiplica o si divide per uno stesso numero, diverso da 0, sia il dividendo sia il divisore, il quoziente non cambia.
a - b = (a + n) - (b + n) | a - b = (a - n) - (b - n)
a : b = (a x n) : (b x n) | a : b = (a : n) : (b : n)