Subtemas del tema 1
1.1 Definición y origen de los números complejos.
Es una expresión del tipo z = a + bi
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano GIROLAMO CARDANO
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
Está basada en la suma de números reales
Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria
Para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.
Para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes.
1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.
Si Z = a + bi es un número complejo
Entonces el Conjugado de Z, denotado por otro número complejo definido por: Si Z = a + bi es un número complejo
Si Z = a + bi es un número complejo, el Módulo de Z es el número real:
Luego el conjugado en forma geométrica se obtiene al reflejar el punto correspondiente a Z, alrededor del eje real
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.
En el caso del producto tenemos la fórmula para la multiplicación
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad − bc)i
Para solventar este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas
Podemos asignarle a cada número complejo Z = a + bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto con el origen
Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las X, que será denotado por θ.
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.
La fórmula Z . W = |z| . |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo.
Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:
Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga:
donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de Z. Esto lo denotamos por
Fórmula para hallar las raíces de un número complejo.
1.6 Ecuaciones polinómicas.
Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo
Teorema fundamental del álgebra: todo polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene n raíces (contando el grado de multiplicidad).
a0+a1z+…+anz n =0 n soluciones
ALEJANDRO MOLLINEDA GARABITO
Mapa mental tema 1
Ing. en Administración Grupo A