MULTIPLICACION ENTRE MATRICES
En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas determinadas reglas.
propiedades de la multiplicación matricial
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▪ La multiplicación entre matrices no es conmutativa, esto es, AB ≠ BA.
▪ AB = 0, aunque A y B no sean matrices nulas.
▪ La potencia An para matrices cuadradas, representa la multiplicación n
veces de la misma matriz A.
▪ Una matriz es idempotente si A2 = A.
▪ Una matriz es periódica de período p si Ap = A (p ∈ ∧ p>1).
▪ Una matriz es involutiva si A2 = I.
▪ Una matriz es nilpotente de índice p si Ap = 0 (p ∈ ∧ p>1).
transposición de una matriz
una matriz A de orden mxn, para obtener la matriz transpuesta, la cual se denota por At, se deben intercambiar elementos de las filas por las columnas.
matriz anti simétrica
matriz simétrica
Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta. es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i, j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.
Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada donde los elementos fuera de la diagonal principal son simétricamente iguales pero los que están por debajo de la diagonal principal llevan un signo negativo.
Sea el conjunto de matrices de orden m×n , la transposición cumple con
las siguientes propiedades
∀A ∈ [(AT)
T = A] Involución de la doble transposición
∀A, B ∈ [(A + B)
T = AT + BT ] Transposición de la suma
∀λ ∈ ∀A ∈ [(λA)
T = λAT ] Transposición de la multiplicación por un escalar
∀A, B ∈ [(AB)
T = BT AT ] Transposición de la multiplicación entre matrices
inversa de una matriz
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Dada una matriz cuadrada A, su inversa, la cual se denota por A−1, es
una matriz que cumple con:
AA−1 = A−1
A = I
Sea el conjunto de matrices cuadradas de orden n x n inversibles, la inversa
de una matriz cumple con las siguientes propiedades
∀A ∈ [(A−1 )
−1 = A] Involución de la doble inversa
∀A ∈ [(AT )
−1 = (A−1 )
T] Inversa de la transposición
∀λ ∈ − {0}∀A ∈ [(λA)
−1 = λ−1A−1 ] Inversa de la multiplicación por un escalar
∀A, B ∈ [(AB)
−1 = B−1 A−1] Inversa de la multiplicación entre matrices