Matriz de una transformsción lineal
Hemos visto ejemplos de cómo surge a partir del producto de matrices, la matriz estándar de una transformación lineal de Rn a Rm. En lo que sigue intentaremos generalizar para cualquier espacio vectorial de dimensión finita, el concepto de matriz asociada a una transformación lineal. Aun en el caso de TL en Rn, veremos que no siempre la matriz estándar es la más conveniente
Sea T:V→W transformación lineal, y
Designamos:
M(T)BB a la matriz asociada a la transformación lineal T respecto de las bases B y B′
Esta matriz se construye por columnas transformando los vectores de la base B (del dominio), y expresando los transformados en sus coordenadas en la base B′:
La matriz asociada tiene n columnas porque la base B tiene n vectores, y tiene m filas porque las coordenadas en B´ se escriben con m componentes. O sea que si.
Propiedad
La matriz asociada a una transformación lineal cumple la siguiente propiedad:
Teorema.
Sean V y V′ dos espacios vectoriales finito dimensionales y sean BV = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} y BV′ = {~v′ 1 , ~v′ 2 , . . . , ~v′ m} bases de V y V′ respectivamente.
Entonces existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de transformaciones lineales T de V a V′ y el conjunto de matrices de m filas y n columnas. Debe notarse que se está definiendo un mapeo del conjunto de transformaciones lineales del espacio vectorial V al espacio vectorial V′ , denotado [L : V → V′ ]BV,BV′ , que ya se demostró que es un espacio vectorial por si mismo. al espacio vectorial de matrices Mm×n, donde dim(V) = n y dim(V′ ) = m. Este mapeo se denotara como
Suma de matrices representativas.
Entonces, la matriz representativa de la transformación lineal S + T del espacio vectorial V al espacio vectorial V′ , con respecto a las bases BV = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} y BV′ = {~v′ 1 , ~v′ 2 , . . . , ~v′ m} bases de V y V′ está dada por
Prueba: A partir de la definición de la matriz representativa de una transformación lineal, se sabe que la imagen, bajo S y T, del j− ´esimo vector de la base BV = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} está dado por