Sean X y Y dos conjuntos no vacíos, subconjuntos de los números reales. Una función de variable real de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X un único elemento de Y

Sea f una función de variable real f: X--Y. El conjunto X para el cual se encuentra defina, constituye el dominio de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por dom f.

determinar el dominio de la función f (x) = √x2 − 4. solución: el radical √x2 − 4 está definido cuando x2 − 4 ≥ 0, es decir, cuando |x| ≥ 2. por lo tanto, dom f = (− ∞, −2] ∪ [2, + ∞).

Sea f una función de variable real f: X → Y, el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio, constituye el rango de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por rg f.

Determinar el rango de la función f (x) = x + 1 x , ∀x ≠ 0. Solución: y = x + 1 x Reemplazamos f (x) por y. xy = x + 1 Multiplicamos ambos miembros por x. x(y − 1) = 1 Factorizamos. x = 1 y − 1 Despejamos x. El cociente 1 y − 1 está definido cuando y − 1 ≠ 0, es decir, cuando y ≠ 1. Por lo tanto, rg f = −{1} = (− ∞, 1) ∪ (1, + ∞).

Si f es una función de A en B, entonces la gráfica de f es el conjunto de puntos o pares ordenados de A x B, tales que sus coordenadas (x, y) pertenecen a f.

Criterio de la recta vertical

Una curva en el plano cartesiano representa una función, si cualquier recta vertical interseca la gráfica, como máximo, en un punto.

Ejemplo

Una función f: X → Y es inyectiva, si y sólo si para cualquier elección de números x1 y x2, si x1 ≠ x2 en el dominio de f, entonces f (x1) ≠ f (x2), esto es: ∀x1, x2 ∈ X [(x1 ≠ x2) → ( f (x1) ≠ f (x2))]

funciones crecientes

función estrictamente crecientes

Una función f: X → Y es sobreyectiva, si y sólo si todo elemento de Y se encuentra relacionado con algún elemento de X, lo cual se representa por:∀y ∈Y ∃ x ∈X [y = f (x)]

Una función f es creciente en un intervalo , si y sólo si para cualquier elección de x1 y x2 en , siempre que x1 < x2, tenemos f (x1) ≤ f (x2). Esto es: ∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) ≤ f (x2))]

Una función f es estrictamente creciente en un intervalo , si y sólo si para cualquier elección de x1 y x2 en , siempre que x1 < x2 , tenemos f (x1) < f (x2). Esto es: Definición 3.8 (Función Estrictamente Creciente) ∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) < f (x2))]

función estrictamente decreciente

Una función f es decreciente en un intervalo , si y sólo si para cualquier elección de x1 y x2 en , siempre que x1 < x2, tenemos f (x1) ≥ f (x2). Esto es: ∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) ≥ f (x2))]

Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo , si y sólo si para cualquier elección de x1 y x2 en , siempre que x1 < x2, tenemos f (x1) > f (x2). Esto es: Definición 3.10 (Función Estrictamente Decreciente) Figura 3.10: Gráficas de Funciones. ∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) > f (x2))]

Se dice que f es una función monótona en un intervalo , si y sólo si f es o estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo.

Una función f es par si para todo x en su dominio, el número −x también está en el dominio y además, f (−x) = f (x).∀x ∈dom f [ f (−x) = f (x)]