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Fundaciones de una variable real, Grafica de una función de variable real,…

- - - - EJEMPLOS
        
        determinar el dominio de la función f (x) = √x2 − 4. solución: el radical √x2 − 4 está definido cuando x2 − 4 ≥ 0, es decir, cuando |x| ≥ 2. por lo tanto, dom f = (− ∞, −2] ∪ [2, + ∞).
        
        Determinar el dominio de la función f (x) = 2x + 1 x − 3 . Solución: El cociente 2x + 1 x − 3 está definido cuando x − 3 ≠ 0, es decir, cuando x ≠ 3. Por lo tanto, dom f = −{3} = (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞).
        
        Determinar el dominio de la función f (x) = 3 √|x − 1| − 2 . Solución: Como el radical está en el denominador, la expresión |x − 1| − 2 solamente puede ser positiva y no puede tomar el valor de cero. |x − 1| − 2 > 0 |x − 1| > 2 (x − 1 > 2) ∨ (x − 1 < −2) (x > 3) ∨ (x < −1) Por lo tanto, dom f = (− ∞, −1) ∪ (3, + ∞).
        
        Rango
        
        Sea f una función de variable real f: X → Y, el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio, constituye el rango de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por rg f.
        
        EJEMPLOS
        
        Determinar el rango de la función f (x) = x + 1 x , ∀x ≠ 0. Solución: y = x + 1 x Reemplazamos f (x) por y. xy = x + 1 Multiplicamos ambos miembros por x. x(y − 1) = 1 Factorizamos. x = 1 y − 1 Despejamos x. El cociente 1 y − 1 está definido cuando y − 1 ≠ 0, es decir, cuando y ≠ 1. Por lo tanto, rg f = −{1} = (− ∞, 1) ∪ (1, + ∞).
        
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- - - - Ejemplo
- - - - Una función f es estrictamente creciente en un intervalo , si y sólo si para cualquier elección de x1 y x2 en , siempre que x1 < x2 , tenemos f (x1) < f (x2). Esto es: Definición 3.8 (Función Estrictamente Creciente) ∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) < f (x2))]
        
        función par
        
        Una función f es par si para todo x en su dominio, el número −x también está en el dominio y además, f (−x) = f (x).∀x ∈dom f [ f (−x) = f (x)]
        
        función acotada
        
        Una función f que tiene la propiedad se dice que es una función acotada, donde M y N son valores reales que se denominan cota superior y cota inferior, respectivamente. ∃M, N ∈ ∀x ∈dom f [N ≤ f (x) ≤ M]
  - - - función decreciente
        
        Una función f es decreciente en un intervalo , si y sólo si para cualquier elección de x1 y x2 en , siempre que x1 < x2, tenemos f (x1) ≥ f (x2). Esto es: ∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) ≥ f (x2))]
        
        función monótona
        
        Se dice que f es una función monótona en un intervalo , si y sólo si f es o estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo.
        
        función periódica
        
        Una función f (x) que cumple la propiedad: Definición 3.14 (Función Periódica) ∃T ∈ + ∀x ∈dom f [ f (x + T) = f (x)] se denomina periódica con período T.
  - - - función estrictamente decreciente
        
        Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo , si y sólo si para cualquier elección de x1 y x2 en , siempre que x1 < x2, tenemos f (x1) > f (x2). Esto es: Definición 3.10 (Función Estrictamente Decreciente) Figura 3.10: Gráficas de Funciones. ∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) > f (x2))]
        
        función impar
        
        Una función f es impar si para todo x en su dominio, el número −x también está en el dominio y además, f (−x) = −f (x).
        ∀x ∈dom f [ f (−x) = −f (x)]