Funciones de una Variable Real
Una funcion real f de variable real es una relación que asocia cada número real x un único número real f(x).
Se expresa de la siguiente manera:
La variable x se llama variable independiente y la variable y es la variable dependiente.
La definición de función asegura que no pueden existir dos valores diferentes
de y (variable dependiente) para un mismo valor de x (variable independiente).
A la variable x de una función a veces se la denomina argumento de la
función. Pensar en la variable independiente como un argumento, en
ocasiones facilita la aplicación de la regla de correspondencia de la función.
Dominio de una función de variable real
Se puede expresar el dominio de una función mediante la notación de
intervalos, la notación de conjuntos, o con palabras, según sea lo más
conveniente.
El dominio de una función lo constituyen los valores posibles de x, estos valores serán aquellos para los cuales la expresión y = f (x)
esté definida en los reales. A partir de esto, podemos anotar lo siguiente:
▪ Si f (x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben excluir del dominio aquellos valores de x que provocan esta situación.
▪ Si f (x) contiene una raíz de índice par, esta existirá sólo si el radicando es positivo o cero.
Ejemplo:
Determinar el dominio de la función f (x) = 3x + 2.
Solución:
Resulta evidente que la regla de correspondencia dada no presenta restricción alguna. Por lo tanto, dom f = R.
Rango de una función de variable real
Un procedimiento para obtener la imagen de una función y = f (x), es el
siguiente:
▪ Despejar algebraicamente la variable x en la función.
▪ El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable y, una
vez despejada la variable x.
Ejemplo:
Determinar el rango de la función f (x) = 2x − 3, ∀x ∈ .
Solución:
Siguiendo el procedimiento antes descrito, tenemos:
y = 2x − 3
x = y + 3/2
Resulta evidente que para todo valor de y, existe un valor de x.
Por lo tanto, rg f = R.
Representación gráfica de funciones
En la mayoría de los casos no es posible representar todos los pares ordenados
(x, f (x)) que constituyen la función de variable real, puesto que son infinitos.
Por lo tanto, para graficar una función se representan unos cuantos puntos
significativos y se dibuja el resto de la gráfica de acuerdo a las características
de cada función.
Criterio de la recta vertical
Una curva en el plano cartesiano representa una función, si cualquier
recta vertical interseca la gráfica, como máximo, en un punto.
Tipos de Funciones
Funciones Inyectivas
Funciones Sobreyectivas
Funciones Crecientes
Tenemos que f es inyectiva si para cualquier elección de un número x que pertenece al dominio de f, existe exclusivamente un valor y en
el rango. En otras palabras, ningún valor y en el rango es imagen de más de un valor x en el dominio. Estas funciones también son denominadas uno a uno.
Una curva en el plano cartesiano representa una función inyectiva, si y sólo si cualquier recta horizontal interseca su gráfica, como máximo,
en un punto.
Tenemos que f es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados con por lo menos un elemento del dominio. Por lo tanto, el rango de f debe coincidir con el conjunto de llegada.
Una función puede ser sobreyectiva y no ser inyectiva.
Para concluir que una función f: X → Y es sobreyectiva, se tendrá que conocer el conjunto de llegada Y.
Una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función.
Funciones Decrecientes
Una función es decreciente cuando a medida que el valor de la variable independiente
aumenta el valor de la función disminuye.
Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo , si y sólo si para cualquier elección de x1 y x2 en I , siempre que x1 < x2, tenemos
f (x1) > f (x2).
Esto es:
∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) > f (x2))]
Funciones Pares o Impares
Algunas funciones pueden ser simétricas respecto a una recta o a un punto. Si la recta a la cual se hace referencia es el eje Y, tenemos funciones pares; mientras que si el punto al cual se hace referencia es el origen de coordenadas, tenemos funciones impares.
Funciones Periódicas
Algunas funciones tienen la característica de repetir los valores de su rango,
así como su comportamiento gráfico, cada cierto intervalo de su dominio. Esto constituye la periodicidad de la función.
En general, para cualquier función periódica no constante, el período fundamental está definido de modo único y todos los demás períodos son múltiplos de él.
Funciones Acotadas
Cuando el rango de una función está contenido en un cierto intervalo limitado, se dice que f es acotada.
Existen funciones que solamente tienen cota superior o cota inferior; en
tales casos, se dice que la función es acotada superiormente o acotada
inferiormente según corresponda
Cabe recalcar que las cotas son números reales que no necesariamente
deben pertenecer al rg f.
Asíntotas de la gráfica de una función variable
En la figura, note que conforme x se vuelve “más negativa”, esto es,
cuando se hace no acotada en la dirección negativa (x → −∞, se lee “x tiende a menos infinito”), los valores de f (x) tienden a cero. Lo mismo ocurre cuando x se vuelve “más positiva”, esto es, cuando se hace no acotada en la dirección positiva (x → + ∞, se lee “x tiende a más infinito”). Por otra parte, cuando x → 0, es decir, en la vecindad de cero, podemos observar que los valores de f (x) tienden a ± ∞.
Estos comportamientos para las gráficas de una función determinan la
existencia de asíntotas.
Asíntota horizontal
Si cuando x → −∞, o cuando x → +∞, los valores de f (x) tienden a algún número fijo L, entonces la recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f.
Asíntota vertical
Si cuando x se aproxima a algún número c, los valores | f (x)| → ∞, entonces la recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de f.
En la figura, se aprecia que las rectas x = −1 y x = 1 son asíntotas verticales de la gráfica de f.
En la figura, se aprecia que la recta y = 5 es una asíntota horizontal de la gráfica de f.