Q5: Equação de Bessel
Equação de Bessel de índice p:
Equação diferencial ordinária
x2y″+xy′+(x2−p2)y=0
também chamada de equação diferencial de Bessel de ordem p
possui duas soluções linearmente independentes
Função de Bessel
Transformada de Laplace
Aplicações
de primeira espécie
de segunda espécie
definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel
também chamada de função de Bessel de Neumann
resolução por séries de potências
Por ser um ponto singular regular na equação, pode-se aplicar o método de Frobenius para x0. O método consiste em procurar a solução:
$$ y=(x-x_0)^r\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n $$
aplicada ao ponto singular regular (zero é um deles, portanto, substituímos x0 por 0)
$$ y=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^{r+n}, a_n\neq0 $$
substituindo a solução na equação:
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+r)a_{n}x^{n+r}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r+2}-\sum\limits_{n=0}^{\infty }p^{2}a_{n}x^{n+r}=0$$
que, após simplificações e substituições:
$$ J_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2n+p}$$
resolução pelo método de D'Alembert
permite transformar uma equação diferencial linear de ordem n numa outra equação linear de ordem n-1, a partir de uma solução particular conhecida.
$$ Y_{m}(x)={\frac {J_{m}(x)\cos(m\pi )-J_{-m}(x)}{\sin(m\pi )}}$$
casos particulares
onde Jm é:
$$J_{m}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+m)!}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2n+m}$$
As funções de Bessel para m=+-(1/2) podem ser escritas em termos das funções elementares
$$ J_{\frac {1}{2}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}sen(x) $$
$$J_{-{\frac {1}{2}}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}cos(x)$$
Ondas eletromagnéticas
Análise de sinais modulados
Condução de calor
Vibração
Difusão
Processamento de sinais
Solução para os padrões de radiação acústica
A dinâmica de corpos flutuantes
relações
Para p inteiro:
$$J_{-p}(x)=(-1)^{p}J_{p}(x)$$
Para p não inteiro:
Jp(X) e J-p(X)são linearmente independentes
$$\frac {d}{dz}{J_{p}(z)}=J_{p-1}(z)-{\frac {p}{z}}J_{p}(z)$$
$$\frac {d}{dz}{z^{p}J_{p}(z)}=z^{p}J_{p-1}(z)$$
seja a equação de Bessel:
$$J_{0}(at){=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {at}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}$$
a transformada de Laplace é dada por:
