PRECÁLCULO
JUAN PABLO VEGA G.
401

JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES

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N: {1, 2, 3, 4, ...}
Z:{-2, -1, 0, 1, ...}
Q:{1/2, 2.45, 7/3, . . .}

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES

ELEMENTO NEUTRO

INVERSOS

CONMUTATIVA

DISTRIBUTIVA

ASOCIATIVA

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JERARQUÍA DE OPERACIONES

SUBCONJUNTOS MÁS IMPORTANTES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

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M.C.D y m.c.m

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÍNIMO COMPUN MÚTIPLO

  • El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes.
  • Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo, m.c.d (12,8), se siguen estos pasos:
  1. Se descompone cada número en producto de factores primos.
  2. El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados.
  • El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.
  • Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, por ejemplo, m.c.m (180, 200), se siguen estos pasos:
  1. Se descompone cada número en producto de factores primos.
  2. El producto de estos factores comunes elevados al mayor exponente y de los no comunes es el mínimo común múltiplo de los números dados.

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NÚMEROS RACIONALES

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  • FRACCIONES.
  • DECIMALES FINITOS.
  • DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS

OPERACIONES

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SUMA Y RESTA

DIVISIÓN

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MULTIPLICACIÓN

INTERVALOS

OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS RACIONALES

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EJEMPLO

-1+(2-1/3)/(1/2+3)÷4/3-1/4

=-1+10/21÷4/3-1/4

= (-1)/1+5/14-1/4

= (-1(28)+5(2)-1(7))/28

= (-28+10-7)/28

= (-25)/28

= -1+(5/3)/(7/2)÷4/3-1/4

Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos extremos, a y b. También puede llamarse subconjunto de la recta real.


Por ejemplo, los números que satisfagan una condición 1 ≤ x ≤ 5 ó [1;5] implican un intervalo que va desde el 1 hasta el 5, incluyendo a ambos.

TIPOS DE INTERVALO

CERRADO

SEMIABIERTO

ABIERTO

INFINITO

Un intervalo abierto es aquel que no incluye los extremos entre los cuales está comprendido, pero sí todos los valores ubicados entre estos. Se representa mediante una expresión del tipo a < x < b ó (a;b).

Un intervalo cerrado es aquel que incluye los extremos del intervalo y todos los valores comprendidos entre estos. Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ≤ b ó [a;b].

Un intervalo semiabierto es aquel que incluye tan solo uno de los extremos de los valores que están entre ellos, de modo que el otro extremo queda excluido. Pueden estar incluidos o excluidos tanto el extremo derecho como el izquierdo.


Se representa con una expresión del tipo a ≤ x < b ó a < x ≤ b, lo que sería [a;b) ó (a;b].


Un intervalo infinito es aquel que tiene un valor infinito en uno o ambos extremos. El extremo que posea el infinito será un extremo abierto. En caso de que ambos extremos sean infinitos, será la recta real.


Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ó x ≤ a, lo que sería [a;∞) ó (-∞;a). Estos además pueden contener intervalos cerrados, como [a; ∞).

Por ejemplo, si tenemos el intervalo abierto (1;5), tendremos el conjunto de números mayores a 1 y menores que 5. Sin incluir el 1 y el 5.

Por ejemplo, si tenemos el intervalo cerrado [1;5], tendremos el conjunto de números mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5. Incluyendo el 1 y el 5.

Por ejemplo, si tenemos el intervalo semiabierto [1;5), tendremos un conjunto de números mayores o iguales a 1 y menores a 5. Incluyendo el 1 pero no el 5.

Por ejemplo, si tenemos el intervalo infinito [1;∞), tendremos un conjunto de números mayores o iguales a 1 en adelante.

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una variable es una letra que puede representar cualquier número tomado de un conjunto de números dado. Si empezamos con variables, por ejemplo x, y, z y algunos números reales, y las combinamos usando suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces, obtenemos una expresión algebraica.

2X: es un monomio. 2X+5Y: es un binomio. 3X-5Y-4Z-W: es un polinomio.

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PRODUCTOS NOTABLES

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PROPIEDADES

Ley distributiva de la multiplicación: a(b+c) = (b+c)a = ab + ac

Ley de los signos: (+a)(+b) = +ab.
(+a)(-b) = -ab.
(-a)(+b) = -ab.
(-a)(-b) = ab

Ley asociativa de la multiplicación: a(bc) = (ab)c

Propiedad de los exponentes: a^0= 1. a^1=0.
a^m a^n= a^m+n.

Ley conmutativa de la multiplicación: ab = ba

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MONOMIO POR POLINOMIO

TRINOMIO POR BINOMIO

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MONOMIO ENTRE MONOMIO

Ciertos tipos de productos se presentan con anta frecuencia que es necesario aprenderlos. Dichos productos se pueden verificar las siguientes fórmulas al ejecutar las multiplicaciones. En general, se le llama identidad notable o producto notable a un cierto producto que cumple reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación,

BINOMIO AL CUBO

TRINOMIO AL CUADRADO

SUMA POR DIFERENCIA

PRODUCTO DE DOS MONOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

BINOMIO AL CUADRADO

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