Engineering Math1 (Group8)

Engineering Math1 (Group8)

เทคนิคการหาลิมิต

unit4 : การประยุกต์ของอนุพันธ์

unit2 : ลิมิตและความต่อเนื่อง

unit3 : อนุพันธ์

unit1:ระบบพิกัดเชิงขั้วและสมการอิงตัวแปรเสริม

กราฟของสมการในระบบพิกัดเชิงขั้ว

การสมมาตร

ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉากและพิกัดเชิงขั้ว

การหาจุดตัดของเส้นโค้งในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ระบบพิกัดเชิงขั้ว

สมการอิงตัวแปรเสริม

ส่วนประกอบของระบบพิกัดเชิงขั้ว

O คือจุดกำเนิด(Origin)หรือจุดขั้ว(Pole)

OX เป็นแกนเชิงขั้ว(Polar axis)

พิกัดของจุด P แทนด้วย (r, θ) ;

r คือ ระยะห่างจากจุด O ถึงจุด P

θ คือ มุมที่วัดจากแกนเชิงขั้วไปยังเส้น OP

θ เป็นบวกเมื่อ วัดมุม θ ทวนเข็มนาฬิกา

มุม θ เป็นลบเมื่อ วัดมุม θ ตามเข็มเข็มนาฬิกา

P(r, θ) จะมี Q(-r, θ) เป็นจุดตรงข้าม

P(x,y) ระบบพิกัด = P(r, θ) ระบบพิกัดเชิงขั้ว

x = rcos θ

y = rsin θ

r^2 = x^2+y^2

tan θ = y/x ; x ≠0

วิธีการวาดกราฟ กำหนดค่า θ (ยิ่งกำหนด θ ถี่มากๆภาพที่ได้จะยิ่งแม่นยำ)เพื่อหาค่า r แล้วนำไปวาดกราฟ

การสมมาตรกับแกนเชิงขั้ว

สมมาตรเมื่อ f (r, θ) = f (r, -θ) หรือ f (-r, π-θ)

การสมมาตรเส้นตรง θ = π/2

สมมาตรเมื่อ f (r, θ) = f (-r, -θ) หรือ f (r, π-θ))

การสมมาตรกับจุดกำเนิด

สมมาตรเมื่อ f (r, θ) = f (-r, θ) หรือ f (r, π+θ)

กราฟสมการในระบบพิกัดฉากที่ควรรู้

1.เส้นโค้งลีมาซอง

สมการ r = a ± bcos θ หรือ r = a ± bsin θ เมื่อ a > 0 b > 0

2.เส้นโค้งเลมนิสเคต

r^2 = a^2sin(2θ)

r^2 = -a^2sin(2θ)

r^2 = a^2cos(2θ)

r^2 = -a^2cos(2θ)

3.เส้นโค้งกลีบกุหลาบ

4.ก้นหอย

r = aθ เมื่อ a>0

ถ้า θ ≥ 0 ก้นหอยทวนเข็ม

ถ้า θ ≤ 0 ก้นหอยตามเข็ม

1.วาดกราฟของสมการในระบบพิกัดเชิงขั้วและนับจุดตัด

2.แก้ระบบสมการในระบบพิกัดเชิงขั้วหาจุดตัด(จับrของทั้ง 2 สมการมาเท่ากัน)

3.ถ้าจุดตัดที่ได้มาจากข้อ2 ไม่เท่ากับ ข้อ1 ให้หาจุดตัดโดยแทนค่า r หรือ θ

x,y เป็นฟังกชั่นของตัวแปร t และ t คือ ตัวแปรเสริม โดยเส้นโค้งที่ได้จากสมการเรียกว่า” เส้นแนววิถี ”(Trajectory) *กราฟที่ได้ต้องมีลูกศร

x = x(t)

y = y(t)

วิธีการวาด

วิธี 1 ลงจุด (กำหนด t หาค่า x y)

วิธี 2 กำจัด t (จัดรูป t แล้วนำไปแทนในอีกสมการ)

สมบัติของลิมิตอนันต์

ลิมิตข้างเดียว

ลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตอนันต์

ลิมิตที่อนันต์

สมบัติของลิมิตที่อนันต์

เทคนิคการหาลิมิต

ลิมิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a มากๆแล้ว f(x) มีค่าเข้าใกล้ L(ดูจากกราฟหรือการแทนค่าxเข้าใกล้aมากๆ)

x เข้าใกล้ a ทางขวา(x>a) f(x) มีค่าเข้าใกล้ L

x เข้าใกล้ a ทางซ้าย(x<a) f(x) มีค่าเข้าใกล้ L

ถ้าลิมิตทางซ้ายเท่ากับทางขวาลิมิตตัวนั้นจะหาค่าได้ ถ้าไม่ก็หาค่าไม่ได้

x เข้าใกล้ a+ แล้วค่า f(x) มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงเรื่อยๆไม่สิ้นสุด

x เข้าใกล้ a- แล้วค่า f(x) มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงเรื่อยๆไม่สิ้นสุด

อัตราสัมพัทธ์

ผลต่างเชิงอนุพันธ์

ช่วงการเพิ่มขึ้น-ลดลง และความเว้า

ความสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชั่น

กฎของโลปิตาล

เป็นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณต่างๆ เทียบกับเวลา สามารถพิจารณาได้โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรเวลา t

ตรวจสอบว่าโจทย์กำหนดปริมาณอะไรบ้างที่เป็นตัวแปร (อาจวาดรูปช่วย)

หาสมการที่แสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรต่างๆในโจทย์

หาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรเวลา ทั้งสองข้างของสมการ

แทนค่าตัวแปรและอัตราการเปลี่ยนแปลงที่โจทย์กำหนดมาให้
โดยคำนึงถึงเครื่องหมายด้วย แล้วแก้สมการหาอัตราเปลี่ยนแปลง

ถ้า t เพิ่ม แล้ว x เพิ่ม เครื่องหมายจะเป็นบวก
ถ้า t เพิ่ม แล้ว x ลด เครื่องหมายจะเป็นลบ

ถ้าf(x)=1/(x^p) และ p เป็น I+ จะได้ว่า

สูตรผลต่างเชิงอนุพันธ์ กำหนด c เป็นค่าคงที่
u และ v เป็นฟังก์ชั่นใดๆ

f(x) ขณะที่ x มีค่ามากขึ้นหรือน้อยลงไม่มีสิ้นสุด

d(c) = 0

เมื่อ x เพิ่มขึ้นหรือลดลงไม่สิ้นสุด ค่าของ f(x) จะเข้าใกล้ L มากๆ เรียกเส้น y = L ว่า เส้นกำกับเขตแนวนอน(Horizontal asymptote)

d(cu) = c du

d(u±v) = du±dv

d(uv) = u dv + v du

ถ้า f(x) = 1/x^(p ) และ p เป็น I+ จะได้ว่า

d(u/v) = (v du-u dv)/v^2

ช่วงการเพิ่มขึ้น-ลดลง

ความเว้า

การเพิ่มขึ้น-ลดลงของฟังก์ชั่น จะบอกทิศทางของกราฟในแนวแกน y ของ f(x) เมื่อค่าของ x เปลี่ยนจากน้อยไปมาก (จะเป็นฟังก์ชั่นเพิ่ม เมื่อ f(x) มีค่ามากขึ้น เมื่อ x มากขึ้น ฟังก์ชั่นลด เมื่อ f(x) มีค่าลดลง เมื่อ x มากขึ้น)

เป็นการหาว่ากราฟ f(x) ที่เป็นเส้นโค้งนั้นมีความเว้าอยู่ด้านบนหรือด้านล่าง

ถ้า f'(x)>0 บนช่วง (a,b) จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชั่นเพิ่มในช่วง (a,b)

ถ้า f^' (x)<0 บนช่วง (a,b) จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชั่นลดในช่วง (a,b)

สามารถกระจาย limit ในเครื่องหมาย บวก ลบ คูณ หาร ได้

นิยาม - ความเว้า

f มีความเว้าอยู่บน บนช่วง D ถ้า f ' เพิ่มขึ้นบนช่วง D :

f มีความเว้าอยู่ล่าง บนช่วง D ถ้า f ' ลดลงบนช่วง D

ทฤษฎีบท :

ถ้า f '' (x)>0 บนช่วง (a,b) จะได้ว่า f มีความเว้าอยู่ด้านบน บนช่วง (a,b)

ถ้า f;' (x)>0 บนช่วง (a,b)

6.เมื่อ n เป็น จำนวนเต็มคู่ I+ และ

หรือสามารถใช้ทฤษฎีบทในการหาความเว้าได้

เป็นการหาค่าของ x_0 ที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ขึ้น โดย
ถ้า f มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์(ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์) เมื่อ x_0 อยู่ในช่วง (a,b)แล้ว f^' (x_0 )=0 หรือ f^' (x_0 ) หาค่าไม่ได้

จะได้

การหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์

ถ้า f '' (x)>0 แล้ว f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ที่ x0 ซึ่งมีค่า f(x0)และเรียก (x0,f(x0)) ว่า จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ของ f

ถ้า f '' (x)<0 แล้ว f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x0 ซึ่งมีค่า f(x0)และเรียก (x0,f(x0)) ว่า จุดสูงสุดสัมพัทธ์ ของ f

ถ้า f '' (x)=0 ให้หาค่าโดยใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

f(x)จะต่อเนื่องที่ x = a เมื่อ

เท่านั้น

การพิจารณาหาค่าลิมิตของฟังก์ชั่นที่อยู่ในรูปแบบไม่กำหนด ( 0/0,∞/∞,
0∙∞,∞-∞,0^0,∞^0,1^∞) โดยฟังก์ชั่นตรงตามรูปแบบไม่กำหนดได้แก่

อัตราการเปลี่ยนแปลง

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ

ได้แก่

การทดสอบค่าสุดขีดสัมพัทธ์โดยใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ

สมมุติให้ f(x) ต่อเนื่องที่จุดวิกฤต x0 และมีช่วง(a,b) ซึ่ง a<x0<b และ f(x) หาอนุพัธ์ได้บน

1.ถ้า และ แล้ว f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x0

2.ถ้า และ แล้ว f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x0

3.ถ้า มีเครื่องหมายเหมือนกันบน และ แล้ว f ไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x0

หาค่าลิมิตได้จาก

กฎโลปิตาล สำหรับรูปแบบ 0/0

สมมติให้ และ ถ้าลิมิต (เป็นจำนวนจริง) หรือ ถ้าลิมิตเป็น∞ หรือ -∞ แล้ว จะได้ว่า

โดยทฤษฎีนี้ สามารถใช้กับกราฟหาค่าลิมิต เข้าสู่จำนวนจริง a ทางใดทางหนึ่ง หรือ เข้าสู่ ∞ หรือ -∞ ได้

กฎโลปิตาล สำหรับรูปแบบ ∞/∞

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบ x เขียนแทนด้วย f'(x) ,y',dy/dx
โดยที่

ความชันเส้นโค้ง เส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉากเส้นโค้ง

การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตรเบื้องต้น

กฎลูกโซ่

การหาอนุพันธ์โดยใช้ลอการิทึม

พิจารณาให้จุดQเคลื่อนเข้าหาจุดPตามเส้นโค้ง ซึ่งทำให้xเข้าใกล้a
ถ้า mของPQมีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงmแล้วเราจะนิยามให้mเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดP