Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Engineering Math1 (Group8) - Coggle Diagram

- - - - ตรวจสอบว่าโจทย์กำหนดปริมาณอะไรบ้างที่เป็นตัวแปร (อาจวาดรูปช่วย)
      - หาสมการที่แสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรต่างๆในโจทย์
      - หาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรเวลา ทั้งสองข้างของสมการ
      - แทนค่าตัวแปรและอัตราการเปลี่ยนแปลงที่โจทย์กำหนดมาให้
        โดยคำนึงถึงเครื่องหมายด้วย แล้วแก้สมการหาอัตราเปลี่ยนแปลง
        
        ถ้า t เพิ่ม แล้ว x เพิ่ม เครื่องหมายจะเป็นบวก
        ถ้า t เพิ่ม แล้ว x ลด เครื่องหมายจะเป็นลบ
  - - - d(c) = 0
      - d(cu) = c du
      - d(u±v) = du±dv
      - d(uv) = u dv + v du
      - d(u/v) = (v du-u dv)/v^2
  - - - การเพิ่มขึ้น-ลดลงของฟังก์ชั่น จะบอกทิศทางของกราฟในแนวแกน y ของ f(x) เมื่อค่าของ x เปลี่ยนจากน้อยไปมาก (จะเป็นฟังก์ชั่นเพิ่ม เมื่อ f(x) มีค่ามากขึ้น เมื่อ x มากขึ้น ฟังก์ชั่นลด เมื่อ f(x) มีค่าลดลง เมื่อ x มากขึ้น)
        
        ถ้า f'(x)>0 บนช่วง (a,b) จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชั่นเพิ่มในช่วง (a,b)
        
        ถ้า f^' (x)<0 บนช่วง (a,b) จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชั่นลดในช่วง (a,b)
    - - เป็นการหาว่ากราฟ f(x) ที่เป็นเส้นโค้งนั้นมีความเว้าอยู่ด้านบนหรือด้านล่าง
        
        นิยาม - ความเว้า
        
        f มีความเว้าอยู่บน บนช่วง D ถ้า f ' เพิ่มขึ้นบนช่วง D :
        
        f มีความเว้าอยู่ล่าง บนช่วง D ถ้า f ' ลดลงบนช่วง D
        
        หรือสามารถใช้ทฤษฎีบทในการหาความเว้าได้
        
        ทฤษฎีบท :
        
        ถ้า f '' (x)>0 บนช่วง (a,b) จะได้ว่า f มีความเว้าอยู่ด้านบน บนช่วง (a,b)
        
        ถ้า f;' (x)>0 บนช่วง (a,b)
  - - - การหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์
        
        ถ้า f '' (x)>0 แล้ว f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ที่ x0 ซึ่งมีค่า f(x0)และเรียก (x0,f(x0)) ว่า จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ของ f
        
        ถ้า f '' (x)<0 แล้ว f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x0 ซึ่งมีค่า f(x0)และเรียก (x0,f(x0)) ว่า จุดสูงสุดสัมพัทธ์ ของ f
        
        ถ้า f '' (x)=0 ให้หาค่าโดยใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง
        
        การทดสอบค่าสุดขีดสัมพัทธ์โดยใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง
        
        สมมุติให้ f(x) ต่อเนื่องที่จุดวิกฤต x0 และมีช่วง(a,b) ซึ่ง a<x0<b และ f(x) หาอนุพัธ์ได้บน
        
        1.ถ้า และ แล้ว f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x0
        
        2.ถ้า และ แล้ว f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x0
        
        3.ถ้า มีเครื่องหมายเหมือนกันบน และ แล้ว f ไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x0
  - - - ได้แก่
      - หาค่าลิมิตได้จาก
        
        กฎโลปิตาล สำหรับรูปแบบ 0/0
        
        สมมติให้ และ ถ้าลิมิต (เป็นจำนวนจริง) หรือ ถ้าลิมิตเป็น∞ หรือ -∞ แล้ว จะได้ว่า
        
        โดยทฤษฎีนี้ สามารถใช้กับกราฟหาค่าลิมิต เข้าสู่จำนวนจริง a ทางใดทางหนึ่ง หรือ เข้าสู่ ∞ หรือ -∞ ได้
        
        กฎโลปิตาล สำหรับรูปแบบ ∞/∞
        
        สมมติให้ และ ถ้าลิมิต (เป็นจำนวนจริง) หรือ ถ้าลิมิตเป็น∞ หรือ -∞ แล้ว จะได้ว่า
        
        โดยทฤษฎีนี้ สามารถใช้กับกราฟหาค่าลิมิต เข้าสู่จำนวนจริง a ทางใดทางหนึ่ง หรือ เข้าสู่ ∞ หรือ -∞ ได้
- - - - จะได้
  - - - เท่านั้น
- - - - https://drive.google.com/drive/folders/1DPjlHxTMmGIXGXv6uj0MRwE_x7-j1bHU?usp=sharing
  - - - พิจารณาให้จุดQเคลื่อนเข้าหาจุดPตามเส้นโค้ง ซึ่งทำให้xเข้าใกล้a
        ถ้า mของPQมีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงmแล้วเราจะนิยามให้mเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดP
  - - - การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝง
        
        ฟังก์ชันแฝงคือ ตัวแปร ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของฟังกชัน ได้อย่างชัดเจน เช่น
        
        F(x, y) = 0
        
        x^2 + y^2 = 1
        
        y^2 = x^3 + cos(x y)
        
        จัดรูปสมการให้อยู่ในรูป y = f(x)
        
        หาอนุพันธ์ของทั้งสองข้างของสมการ
      - การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตรต่าง ๆ (ไฟล์สูตรรวม)
        
        ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
        
        ฟังก์ชันเลขยกกำลังและลอการิทึม
        
        ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก และฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผัน
        
        https://drive.google.com/drive/folders/1DPjlHxTMmGIXGXv6uj0MRwE_x7-j1bHU?usp=sharing
  - - - วิธีทำ
        
        ขั้นตอนที่ 1 : take In ทั้งสองข้างของฟังก์ชัน
        
        ขั้นตอนที่ 2 : พิจารณาทั้งฟังก์ชัน โดยใช้คุณสมบัติ log
        
        ขั้นตอนที่ 3 : หาอนุพันธ์เทียบ x ทั้ง 2 ข้าง
        
        Extra : สูตรอนุพันธ์ที่ใช้บ่อย
  - - - https://drive.google.com/drive/folders/1DPjlHxTMmGIXGXv6uj0MRwE_x7-j1bHU?usp=sharing
    - - https://drive.google.com/drive/folders/1DPjlHxTMmGIXGXv6uj0MRwE_x7-j1bHU?usp=sharing
- - - - สมมาตรเมื่อ f (r, θ) = f (r, -θ) หรือ f (-r, π-θ)
    - - สมมาตรเมื่อ f (r, θ) = f (-r, -θ) หรือ f (r, π-θ))
    - - สมมาตรเมื่อ f (r, θ) = f (-r, θ) หรือ f (r, π+θ)
    - - 1.เส้นโค้งลีมาซอง
        
        สมการ r = a ± bcos θ หรือ r = a ± bsin θ เมื่อ a > 0 b > 0
      - 2.เส้นโค้งเลมนิสเคต
        
        r^2 = a^2sin(2θ)
        
        r^2 = -a^2sin(2θ)
        
        r^2 = a^2cos(2θ)
        
        r^2 = -a^2cos(2θ)
      - 3.เส้นโค้งกลีบกุหลาบ
      - 4.ก้นหอย
        
        r = aθ เมื่อ a>0
        
        ถ้า θ ≥ 0 ก้นหอยทวนเข็ม
        
        ถ้า θ ≤ 0 ก้นหอยตามเข็ม
  - - - O คือจุดกำเนิด(Origin)หรือจุดขั้ว(Pole)
      - OX เป็นแกนเชิงขั้ว(Polar axis)
      - พิกัดของจุด P แทนด้วย (r, θ) ;
        
        P(r, θ) จะมี Q(-r, θ) เป็นจุดตรงข้าม
      - r คือ ระยะห่างจากจุด O ถึงจุด P
      - θ คือ มุมที่วัดจากแกนเชิงขั้วไปยังเส้น OP
        
        θ เป็นบวกเมื่อ วัดมุม θ ทวนเข็มนาฬิกา
        
        มุม θ เป็นลบเมื่อ วัดมุม θ ตามเข็มเข็มนาฬิกา
  - - - วิธี 1 ลงจุด (กำหนด t หาค่า x y)
      - วิธี 2 กำจัด t (จัดรูป t แล้วนำไปแทนในอีกสมการ)