Geometria Analítica e Álgebra Linear
Vetores
Coordenadas cartesianas no espaço
Sistemas lineares – matrizes
Matrizes: forma escada
Expansão de cofatores, fórmula de Laplace e regra de Cramer
Subespaço de um espaço vetorial
Combinação linear
Base de um espaço vetorial
Transformações lineares
Produtos entre vetores
Equação da reta
Equação do plano
Grandezas escalares são aquelas que podem ser escritas na forma de um número, seguido de uma unidade de medida. Em outras palavras, elas são completamente definidas se soubermos o seu valor, também chamado de módulo, e a forma como ela é medida.
Grandezas vetoriais precisam ser expressas por um número (módulo), uma direção, um sentido e uma unidade de medida. Isso equivale a dizer que essas grandezas podem ser expressas por meio de uma seta (vetor).
ℝ¹ ---> Reta Numérica,
ℝ² ---> Reta Euclidiano,
ℝ³ ---> Espaço Euclidiano
Tridimensional.
Para traçar um vetor em um sistema cartesiano precisa-se de no minimo um conjunto de dois pares ordenados: o par ordenado que representa a origem do vetor e o par ordenando que representa a extremidade.
Podemos denominar uma coordenadas polar da seguinte forma : A = (r,θ) onde r é a distância polar ou o raio vetor e θ representa o ângulo polar.
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Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem vários métodos, os três mais conhecidos são:
método da comparação.
método da adição.
método da substituição.
Se uma matriz está na forma escalonada reduzida satisfaz ainda as seguintes características adicionais:
O pivô de cada linha não-nula é 1.
Cada pivô 1 é o único elemento não-nulo de sua coluna.
Uma matriz retangular está na sua forma escalonada ou na forma de escada por linhas quando satisfaz as seguintes condições:
Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros.
O pivô de cada linha está numa coluna à direita do pivô da linha acima.
Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero
Existem três operações básicas que podem ser aplicadas a qualquer tipo de sistema linear, sem alterar sua solução:
1-Trocar duas linhas entre si.
2-Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma constante não-nula.
3-Substituir uma linha pela sua soma com um múltiplo de outra.
MATRIZ INVERSA E DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
Uma matriz só possuirá inversa se o seu determinante for diferente de zero. Caso o determinante det(B) seja igual a zero, a matriz não possui inversa. A matriz transposta da matriz inversa é igual à matriz inversa da matriz transposta. A inversa de uma matriz identidade é sempre igual a ela mesma
Como calcular o determinante de uma matriz inversa? A determinação de uma matriz inversa de ordem n é dada através da multiplicação por uma matriz B genérica, sendo que o resultado deverá ser uma matriz identidade.
Para encontrar qualquer cofator de uma matriz basta utilizar a seguinte equação:
Aij = (-1)i+j det( Mij)
Pelo teorema de Cramer, se um sistema linear apresenta o número de equações igual ao número de incógnitas e determinante diferente de zero.
Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de multiplicação por escalar: quando. Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que v + αu ∈ W, para quaisquer ∈ V e qualquer α ∈ R, em vez de checar as duas operações separadamente.
Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por um escalar definidas em V.
Para determinar uma base, nós devemos “excluir” as colunas que podem ser geradas pelas demais, de modo a obter um conjunto linearmente independente.
Uma base para um espaço vetorial V é um conjunto ℬ que: (a) gera V e;
(b)é linearmente independente.
Defini-se dimensão de um espaço vetorial o número de vetores que está contido em uma base de um espaço vetorial. Podemos denominar a dimensão de um espaço vetorial como dim V( dimensão do espaço V).
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