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GAAL - Coggle Diagram

- - - - Inversões: número de inteiros menores depois da entrada.
  - - - Se têm solução são consistentes, se não, inconsistentes (ej: retas paralelas).
        
        Formas de escribir
        
        Matriz aumentada
        
        Ax = b, A de coeficientes, b de constantes, x, coluna das incógnitas.
        
        Em qualquer sistema linear apenas ocurre:
        
        O sistema tem infinitas soluções
        
        O sistema tem apenas uma solução.
        
        O sistema é inconsistente (não tem solução).
        
        Se aparece
        
        0=a
      - Resolvendo sistemas lineares: operações elementares - Parte IV
        
        Eliminação gaussiana: equivalente escalonada.
        
        Eliminação de Gauss-Jordan
        
        Retro-substituição: Sitema mais simples, matriz triangular sup. Matriz aumentada
      - Sistemas homogêneos: termos contantes todos nulos.
    - - Operações com matrizes
        
        Oposto aditivo: trocar o sinal das entradas da matriz original.
        
        Produto de matriz por escalar: aA, multiplicar cada entrada pelo escalar.
        
        Produto de matrizes de A = (aij)mxr e B = (bij) rxn : é a matriz de mxn , cujas entradas são a soma dos produtos das entradas linha x coluna de A y B.
        
        Mesmo tamanho, soma de entradas correspondentes.
        
        Transposta; Trocar linha por coluna.
        
        Prop.
        
        (aA)^T = a A^T
        
        (AB)^T = B^T *A^T
        
        (A+B)^T = A^T + B^T
        
        Se A é invertível então A^T também é e vale (A^T)-1 = (A-1)^T
        
        (A^T)^T = A
        
        Igualdade de matrizes: Se tiverem o mesmo tamanho e entradas iguais.
        
        Substração: A-B = A+(-B).
        
        Traço: Soma das entradas da diagonal principal duma matriz quadrada.
        
        Inversa Uma matriz quadrada A é invertivel (ou não singular) se existir AB = BA = I. Unicidade. Não vale o cancelamento de matriz de jeito geral no caso AB = AC, com A dist. 0: Não verdade para AB = 0, e B e A dist. 0"
        
        Invertibilidade de matrizes A= (a b / c d), Se x=ad-bc dist. 0, A-¹ = x (d -b / -c a)
        
        Se A for invertível: A forma escalonada reduzida por linhas é a matriz identidade = A pode ser descrita como produto de matrizes elementares = O sistema Ax=b tem apenas a solução trivial = Ax = b é consistente para cada matriz b de tamanho n*1, com exatamente uma solução.
        
        Potências
        
        A0=0, An -> A n veces, A-n -> A-¹ n veces
        
        (An)m = A n m
        
        (An) -¹ = (A-¹)n
        
        An Am = A n+m
        
        (aA)-1 = 1/a * A-¹
      - Regras operacionais com matrizes
        
        a (A+B) = aA+aB
        
        (a+b) A = aA + bA
        
        Oposto: (-A)+A=0
        
        a(AB) = (aA)B = A(aB)
        
        3, Elemento neutro: A+0 = 0+A
        
        a(bA) =b(aA) = (ab)A
        
        Associatividade: A+(B+C) = (A+B)+C
        
        Associatividade produto: A(BC) = (AB)C
        
        Comutatividade: A+B = B+A
        
        Distributividade soma e produto: (A+B)C = AC+BC e A(B+C) = AB+AC.
      - Tipos: Matriz quadrada, diagonal, triangular superior, triangular inferior, Matriz identidade (com 1 na diagonal principal, e 0 nas demais), AI= A (direita) I="1"
        
        Quadrada
        
        Triangular: superior o inferior. Entradas nulas bajo y sobre la diagonal, respect..
        
        Proposição
        
        Produto de superiores é superior, produto de inferiores é inferior.
        
        A inversa de uma superior é uma superior. A inversa de uma inferior é uma inferior
        
        A transposta de uma superior é uma inferior e visceversa.
        
        Simétrica: cuando é igual a sua transposta.
        
        Sendo A e simétricas...
        
        A+B e A-B são simétricas.
        
        aA é simétrica
        
        Las transpuestas son simétricas
        
        Diagonal: Fora da diagonal, todas entradas nulas.
        
        Invertível
        
        DA -> efeito sobre as linhas. AD-> efeito sobre as colunas.
      - 3- Operações elementares :
        
        São
        
        Trocar duas linhas entre si, Contrario, trocar as linhas novamente.
        
        Somar um múltiplo de uma linha a outra linha. Contrario: somar o inverso aditivo.
        
        Multiplicar uma linha por uma constante não nula. Contrario: 1/a.
        
        Observações
        
        Se A --> B então é possível B --> A, aplicando as operações contrarias.
        
        A través duma sequência de operações, a matriz original pode assumir alguma outra forma.
        
        Matriz escalonada
        
        O líder da linha inferior mais à direita.
        
        Linhas de zeros até abaixo/
        
        Líder ou pivô: o primeiro número não nuo é 1
        
        Matriz escalonada reduzida por linhas
        
        Matriz escalonada com colunas que contém líder com zeros nas demais entradas.
        
        Matriz elementar
        
        Matriz identidade (quadrada) à qual foi feita uma única operação elementar.
        
        Proposições
        
        O produto EA , onde A é uma matriz mxm, é a matriz que resulta quando a mesma operação elementar feita em E é feita em A.
        
        Qualquer matriz elementar é invertível.
        
        Teorema: Seja A uma matriz quadrada, então temos as seguintes proposições equivalentes: A é invertível. A forma escalonada reduzida por linhas de A é uma matriz identidade. *A pode ser escrita um produto de matrizes elementares.
        
        2 more items...
        
        Operações elementares sobre colunas de A são operações sobre as linhas de A^T
        
        Sirvem para
        
        Resolver sistemas de equações lineares.
        
        Encontrar a inversa
        
        Obter matrizes equivalentes por linhas