GAAL
GEOMETRÍA ANALÍTICA
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DETERMINANTES
VETORES
SISTEMAS LINEARES E MATRIZES
Sistema linear: O equação linear, é uma função da forma a1x1+a2x2+...+anxn = b, todas variaveis grado 1.
Matriz: Arreglo retangular de números com tamanho mxn (m linhas e n colunas). De forma reduzida, A = (aij) mxn.
Operações com matrizes
Regras operacionais com matrizes
Tipos: Matriz quadrada, diagonal, triangular superior, triangular inferior, Matriz identidade (com 1 na diagonal principal, e 0 nas demais), AI= A (direita) I="1"
Oposto aditivo: trocar o sinal das entradas da matriz original.
Produto de matriz por escalar: aA, multiplicar cada entrada pelo escalar.
Produto de matrizes de A = (aij)mxr e B = (bij) rxn : é a matriz de mxn , cujas entradas são a soma dos produtos das entradas linha x coluna de A y B.
Mesmo tamanho, soma de entradas correspondentes.
Transposta; Trocar linha por coluna.
Igualdade de matrizes: Se tiverem o mesmo tamanho e entradas iguais.
Substração: A-B = A+(-B).
Traço: Soma das entradas da diagonal principal duma matriz quadrada.
Inversa Uma matriz quadrada A é invertivel (ou não singular) se existir AB = BA = I. Unicidade. Não vale o cancelamento de matriz de jeito geral no caso AB = AC, com A dist. 0: Não verdade para AB = 0, e B e A dist. 0"
Exercícios: Seção 1.3: 1-7, 11, 12, 18, 23, 27, 30.
- a (A+B) = aA+aB
- (a+b) A = aA + bA
- Oposto: (-A)+A=0
- a(AB) = (aA)B = A(aB)
3, Elemento neutro: A+0 = 0+A
- a(bA) =b(aA) = (ab)A
- Associatividade: A+(B+C) = (A+B)+C
- Associatividade produto: A(BC) = (AB)C
- Comutatividade: A+B = B+A
- Distributividade soma e produto: (A+B)C = AC+BC e A(B+C) = AB+AC.
Invertibilidade de matrizes A= (a b / c d), Se x=ad-bc dist. 0, A-¹ = x (d -b / -c a)
Potências
A0=0, An -> A n veces, A-n -> A-¹ n veces
(An)m = A n m
(An) -¹ = (A-¹)n
An Am = A n+m
(aA)-1 = 1/a * A-¹
Prop.
Se A for invertível: A forma escalonada reduzida por linhas é a matriz identidade = A pode ser descrita como produto de matrizes elementares = O sistema Ax=b tem apenas a solução trivial = Ax = b é consistente para cada matriz b de tamanho n*1, com exatamente uma solução.
(aA)^T = a A^T
(AB)^T = B^T *A^T
(A+B)^T = A^T + B^T
Se A é invertível então A^T também é e vale (A^T)-1 = (A-1)^T
(A^T)^T = A
3- Operações elementares :
São
Observações
Sirvem para
Trocar duas linhas entre si, Contrario, trocar as linhas novamente.
Somar um múltiplo de uma linha a outra linha. Contrario: somar o inverso aditivo.
Multiplicar uma linha por uma constante não nula. Contrario: 1/a.
Resolver sistemas de equações lineares.
Encontrar a inversa
Obter matrizes equivalentes por linhas
Se A --> B então é possível B --> A, aplicando as operações contrarias.
A través duma sequência de operações, a matriz original pode assumir alguma outra forma.
Operações elementares sobre colunas de A são operações sobre as linhas de A^T
Matriz escalonada
Matriz escalonada reduzida por linhas
O líder da linha inferior mais à direita.
Linhas de zeros até abaixo/
Líder ou pivô: o primeiro número não nuo é 1
Matriz escalonada com colunas que contém líder com zeros nas demais entradas.
Matriz elementar
Matriz identidade (quadrada) à qual foi feita uma única operação elementar.
Proposições
- O produto EA , onde A é uma matriz mxm, é a matriz que resulta quando a mesma operação elementar feita em E é feita em A.
- Qualquer matriz elementar é invertível.
Teorema: Seja A uma matriz quadrada, então temos as seguintes proposições equivalentes: A é invertível. A forma escalonada reduzida por linhas de A é uma matriz identidade. *A pode ser escrita um produto de matrizes elementares.
Método para encontrar a inversa de uma matriz: encontrar uma sequência de operações elementares sobre as linhas de A que reduz A à matriz identidade e depois efetuamos esta mesma sequência de operações para obter A inversa: Ek...E2E1A --> Ek...E2E1 I = A-¹
Quadrada
Triangular: superior o inferior. Entradas nulas bajo y sobre la diagonal, respect..
Simétrica: cuando é igual a sua transposta.
Diagonal: Fora da diagonal, todas entradas nulas.
Invertível
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DA -> efeito sobre as linhas. AD-> efeito sobre as colunas.
Proposição
Produto de superiores é superior, produto de inferiores é inferior.
A inversa de uma superior é uma superior. A inversa de uma inferior é uma inferior
A transposta de uma superior é uma inferior e visceversa.
Sendo A e simétricas...
A+B e A-B são simétricas.
aA é simétrica
Las transpuestas son simétricas
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Se têm solução são consistentes, se não, inconsistentes (ej: retas paralelas).
Formas de escribir
Matriz aumentada
Ax = b, A de coeficientes, b de constantes, x, coluna das incógnitas.
Em qualquer sistema linear apenas ocurre:
O sistema tem infinitas soluções
O sistema tem apenas uma solução.
O sistema é inconsistente (não tem solução).
Resolvendo sistemas lineares: operações elementares - Parte IV
Eliminação gaussiana: equivalente escalonada.
Eliminação de Gauss-Jordan
Retro-substituição: Sitema mais simples, matriz triangular sup. Matriz aumentada
Sistemas homogêneos: termos contantes todos nulos.
Se aparece
0=a
Teorema: Sejam A, B matrizes do mesmo tamanho, se o produto AB for uma matriz invertível, então A e B também são invertíveis.
Si det(A) dist 0, a matriz é invertível.
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Permutação n!
Inversões: número de inteiros menores depois da entrada.
Produto elementar