DISTRIBUCIÓN
NORMAL
BINOMIAL
POISSON
Propiedades
Fue reconocida por primera vez gracias a el francés Abraham
de Moivre (1667-1754)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva
Se dice que la v.a continua X es una v.a. normal con parámetros µ y σ ² si su función de densidad es:
Distribución Normal Estandar
Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana (aproximadamente).
La curva normal es asintótica al eje de las abscisas.
El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estándar de la media es igual a 0.95.La
Esta distribución es un modelo matemático que permite determinar probabilidades de ocurrencia para distintos valores de la variable
La tabla de la distribución normal presenta los valores de probabilidad para una variable estándar Z, con media igual a 0 y varianza igual a 1.
Para usar la tabla, siempre debemos estandarizar la variable por medio de la expresión:
Siendo el valor de interés; la media de nuestra variable y su desviación estándar.
Debemos calcular Z usando los datos de nuestra muestra.
En general, el valor de Z se interpreta como el número de desviaciones estándar que están comprendidas entre el promedio y un cierto valor de variable x.
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue
una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0,1)
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales
La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable
tipificada.
Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).
Φ(k) = P(z ≤ k)
Es la principal distribución de probabilidad, desarrollada por Jakob Bernoulli (1654-1705) quien fue un brillante matemático y científico Suizo.
Una de sus principales contribuciones fue el desarrollo de la distribución binomial, la cual nos indica el porcentaje en que es probable obtener un resultado entre dos posibles al realizar un número determinado de pruebas
Este tipo de distribución es utilizada para descubrir procesos donde los resultados puede ser etiquetados como un evento o no
Un ejemplo serían las encuetas del tipo SÍ Y/O No
Ya que de dos posibles resultados, solo seleccionamos uno
Caracteristicas
Solo hay dos posibles resultados
Si se cambia un elemento, debe ser reemplazado
Los resultados son independientes
Su formula es P(x)= 𝑛!/𝑋!(𝑛−) 𝑃^𝑥 𝑄^(𝑛−𝑥)
Donde:
Q: es la probabilidad de obtener un fracaso
X: es el numero de éxitos
N: es el numero de pruebas
P: es la probabilidad de obtener un éxito
→ (su formula es 𝑄=1−𝑝)
Definición
Historia
Aplicación
Representación
Ejemplo
Distribución de probabilidad discreta que modeliza la frecuencia de eventos determinados durante un intervalo de tiempo fijado a partir de la frecuencia media de aparición de dichos eventos.
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que, tan solo conociendo los eventos y su frecuencia media de ocurrencia, podemos saber su probabilidad.
El nombre de esta distribución proviene de su creador, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), un matemático y filósofo francés, que quería modelar la frecuencia de eventos durante un intervalo de tiempo fijado. También participó en perfeccionar la ley de los grandes números.
La distribución de Poisson se utiliza en el campo de riesgo operacional con el objetivo de modelar las situaciones en que se produce una pérdida operacional. En riesgo de mercado se emplea el proceso de Poisson para los tiempos de espera entre transacciones financieras en bases de datos de alta frecuencia. También, en riesgo de crédito se tiene en cuenta para modelar el número de quiebras.
Dada una distribución de Poisson con media 2, la distribución de probabilidad de densidad es la siguiente:
La función solo está definida en valores enteros de x.
Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson, si se define X como el número de libros que tengan encuadernación defectuosa entonces k = 5 y (el valor esperado de libros defectuosos) es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es:
No todas las distribuciones de probabilidad de densidad de Poisson tendrán el mismo aspecto aunque mantengamos igual la muestra. Si cambiamos la media, es decir, el parámetro del que depende la función, también cambiará la función.