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La Distribución Normal, Binomial y Poisson - Coggle Diagram
La Distribución Normal, Binomial y Poisson
distribución normal
Importancia
Muchos fenómenos que podemos medir tanto en las ciencias exactas como las sociales de asemejan en su frecuencia a esta distribución
La distribución normal tiene ciertas propiedades matemáticas que nos permiten predecir qué proporción de la población (estadística) caerá dentro de cierto rango si la variable tiene distribución normal.
Varios tests de significanza de diferencia entre conjuntos de datos presumen que los datos del conjunto tiene una distribución normal.
Sólo depende de dos parámetros, la media y la varianza de la distribución
Estos parámetros se pueden estimar con mucha facilidad, a través de estadísticos como la media muestral o la varianza muestral, entre otros, por lo que resulta fácil ajustar este modelo de probabilidad a una muestra concreta.
La distribución normal se extiende fácilmente al caso multivariante, esto es, cuando no estamos interesados en la distribución de una única variable, si no de todo un vector de variables aleatorias.
Que es y formula
La distribución normal es un modelo teórico capaz de aproximar satisfactoriamente el valor de una variable aleatoria a una situación ideal. Dada una variable aleatoria X, decimos que la frecuencia de sus observaciones puede aproximarse satisfactoriamente a una distribución normal tal que 
Propiedades
Es una distribución simétrica. El valor de la media, la mediana y la moda coinciden. Matemáticamente,
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Distribución unimodal. Los valores que son más frecuentes o que tienen más probabilidad de aparecer están alrededor de la media. En otras palabras, cuando nos alejamos de la media, la probabilidad de aparición de los valores y su frecuencia descienden.
La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre y es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.
Distribución binomial
Que es y formula
Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria. La fórmula para calcular la distribución normal es:
Propiedades
En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara son constantes.
La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.
Importancia
El hecho de que aparezca en multitud de experimentos aleatorios es lo que le da la importancia a esta distribución, que por si fuera poco puede adoptar la forma de una distribución de Poisson (también muy importante), cuando n es muy grande y p muy pequeño. Se suele tomar np<5 , y en ese caso la función de masa vale PX(x)=e−λ⋅λxx! donde λ=np
Cada ensayo (cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso
distribución poisson
Que es y formula
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que modeliza la frecuencia de eventos determinados durante un intervalo de tiempo fijado a partir de la frecuencia media de aparición de dichos eventos.En otras palabras, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que, tan solo conociendo los eventos y su frecuencia media de ocurrencia, podemos saber su probabilidad. Dada una variable aleatoria discreta X decimos que su frecuencia se puede aproximar satisfactoriamente a una distribución de Poisson, tal que: A diferencia de la distribución normal, la distribución de Poisson solo depende de un parámetro, mu (marcado en amarillo). Mu informa del número esperado de eventos que ocurrirán en un intervalo de tiempo fijado. Cuando se habla de algo “esperado” tenemos que redirigirlo a pensar en la media. Por tanto, mu es la media de la frecuencia de los eventos. Tanto la media como la varianza de esta distribución son mu, estrictamente positiva.
Propiedades
La variable discreta “x” es el número de ocurrencias de un evento durante un intervalo determinado (de tiempo, espacio, etc.).
Las ocurrencias deben ser aleatorias y no contener ningún factor que favorezca unas ocurrencias en favor de otras.
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Una propiedad importante de la distribución de Poisson es que, la suma de “n” variables de Poisson independientes tendrán como resultado también una variable de Poisson, siendo su parámetro la suma del valor de los parámetros originales.
Importancia
La distribución de Poisson verifica el teorema de adición para el parámetro l . Este resultado es importante a la hora del cálculo de probabilidades , o , incluso a la hora de inferir características de la distribución binomial cuando el número de pruebas sea muy grande y la probabilidad de éxito sea muy pequeña
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que nos dice el porcentaje en que es probable obtener un resultado entre dos posibles al realizar un número n de pruebas. La probabilidad de cada posibilidad no puede ser más grande que 1 y no puede ser negativa.
La distribución de Poisson verifica el teorema de adición para el parámetro l . "La variable suma de dos o más variables independientes que tengan una distribución de Poisson de distintos parámetros l (de distintas medias) se distribuirá, también con una distribución de Poisson con parámetro l la suma de los parámetros l (con media, la suma de las medias) :
Importancia de la estadística
El ser humano es curioso y controlador por naturaleza; ejercer ese control sobre su entorno le presenta un problema serio; por ello la Estadística le es tan útil en su vida diaria. El hombre acumula información, luego la clasifica y la analiza para poder entenderla, de ese modo podrá controlarla; después la traduce a cifras, cálculos y datos que le ayudan a tomar decisiones sobre cosas tan cotidianas como la compra de un vehículo, el lugar más seguro para vivir, la variación del clima en una zona o cosas tan indispensables como la compra y venta de un producto en una empresa o la matrícula de una institución educativa.