Capítulo 5- Sistemas de equações do 1º grau com 2 incógnitas
Paulo Yassuo Yamahata
Equações do 1º grau com 2 incógnitas
Uma equação é do 1º grau com 2 incógnitas quando pode ser escrita na forma as+by=c, sendo a,b e c coeficientes, com a=0 e b≠0
Ex: x+y=20, pois pode ser escrita como 1x+1y=20
Soluções
Atribuímos um valor qualquer a uma das incógnitas e determinamos o valor da outra incógnita
Ex: x=0 na equação 3x+2y=10
3x0+2y=10–>0+2y=10–>2y=0–>y=10/2=5
Por gráfico
Para x=0, temos y=1; logo, o par ordenado é (0,1)
Para x=1, temos y=-2;logo, o par ordenado é (1,-2)
Para x=-1, temos y =4; logo, o par ordenado é (-1,4)
Para x= 1/3 temos y =0; logo o par ordenado é (1/3,0)
Para x= x2, temos y =7; logo o par ordenado é (-2,7)
Portanto, (0,1);(1,-2);(-1,4;(1/3,0) e (-2,7) são algumas soluções da equação 3x+y=1
Podemos representá-los graficamente esses pares ordenados em um sistema de eixos cartesianos
Os pontos correspondentes aos pares ordenados de números racionais que são soluções de uma equação de 1º grau com 2 incógnitas estão contidos na mesma reta
Sistemas de 2 equações do 1º grau com 2 incógnitas
A solução de um sistema de 2 equações do 1º grau com 2 incógnitas é um par ordenado que satisfaz, simultaneamente, as 2 equações, no conjunto numérico considerado
Ex:
{x+y=7
{2x+4y=22
Soluções
1º: método da substituição
(3,4) é o único par ordenado comum entre as duas, ou seja, é a solução
Há também como resolver usando o gráfico
1º: determinamos 2 possíveis soluções
x+y=7
0|7
7|0
Pares ordenados: (0,7) e (7,0)
2x+4y=22
1|5
5|3
Pares ordenados: (1,5) e (5,3)
Solução gráfica:
Ex: {x+y=55
{x+2y=85
1º: “isolamos”, no 1º membro, uma das incógnitas em uma das equações
x+y=55–> x=55x-y
2ºsubstituímos x por 55-y e determinamos os valor de y
x+2y=85–> 55-y+2y=85–>-y+2y=85-55–> y=30
par ordenado: (25,30)
2º método da adição
{x+y=59
{x-y=23
Ao somar os membros das 2 equações, podemos anular uma das incógnitas e obter uma equação que pode ser usada para obter o valor da outra incógnita
{x+y=59
{x-y=23
2x=82
x=41
Se x =41 substituímos o x por 41 em qualquer equação
x+y=59–> 41+y=59–>y=59-41=18
y=18
Os pares ordenados são (18,41)
Classificação de sistemas de 2 equações do 1º grau com 2 incógnitas quanto ao número de soluções
Quando um sistema de equações é possível e determinado, as retas que representam as equações se intersectam em um único ponto, que indica a solução do sistema
Exemplos
{x+y=5
{2x+2y=6’
Método algébrico
x+y=5–>x=5-y
2+2y=6–>2(5-y)+2y=6–>10-=6 10=6
(falso)
Método gráfico
x+y=5
x|y
0|5
5|0
Quando um sistema de equações é impossível, as retas que representam as equações são distintas e paralelas ( não tem ponto comum)
{x+2=5
{2+4y=10
Método algébrico
{x+2y=5 vezes -2
{2x+4y=10
{-2x-4y=-10
{2x+4y=10
0x+0y=0
Nesse caso qualquer par ordenado de números racionais (x,y) que satisfaz um das equações também satisfaz a outra, ou seja , há infinitas opções
Método gráfico
x+2y=5
x|y
5|0
1|2
2x+4y=10
x|y
5|0
1|2
Quando um sistema de equações é indeterminado, as retas que representam as equações são coincidentes ( são a mesma reta )