Capítulo 5- Sistemas de equações do 1º grau com 2 incógnitas
Paulo Yassuo Yamahata

Equações do 1º grau com 2 incógnitas

Uma equação é do 1º grau com 2 incógnitas quando pode ser escrita na forma as+by=c, sendo a,b e c coeficientes, com a=0 e b≠0

Ex: x+y=20, pois pode ser escrita como 1x+1y=20

Soluções

Atribuímos um valor qualquer a uma das incógnitas e determinamos o valor da outra incógnita

Ex: x=0 na equação 3x+2y=10
3x0+2y=10–>0+2y=10–>2y=0–>y=10/2=5

Por gráfico

Para x=0, temos y=1; logo, o par ordenado é (0,1)
Para x=1, temos y=-2;logo, o par ordenado é (1,-2)
Para x=-1, temos y =4; logo, o par ordenado é (-1,4)
Para x= 1/3 temos y =0; logo o par ordenado é (1/3,0)
Para x= x2, temos y =7; logo o par ordenado é (-2,7)

Portanto, (0,1);(1,-2);(-1,4;(1/3,0) e (-2,7) são algumas soluções da equação 3x+y=1

Podemos representá-los graficamente esses pares ordenados em um sistema de eixos cartesianos

B0E7B26E-983F-4D77-B736-3819623625B1

Os pontos correspondentes aos pares ordenados de números racionais que são soluções de uma equação de 1º grau com 2 incógnitas estão contidos na mesma reta

Sistemas de 2 equações do 1º grau com 2 incógnitas

A solução de um sistema de 2 equações do 1º grau com 2 incógnitas é um par ordenado que satisfaz, simultaneamente, as 2 equações, no conjunto numérico considerado

Ex:
{x+y=7
{2x+4y=22

Soluções

1º: método da substituição

(3,4) é o único par ordenado comum entre as duas, ou seja, é a solução

Há também como resolver usando o gráfico

1º: determinamos 2 possíveis soluções

x+y=7
0|7
7|0
Pares ordenados: (0,7) e (7,0)

2x+4y=22
1|5
5|3
Pares ordenados: (1,5) e (5,3)

Solução gráfica:

9B7BD047-473C-454D-9AFF-6AB2511F7FC2

Ex: {x+y=55
{x+2y=85

1º: “isolamos”, no 1º membro, uma das incógnitas em uma das equações
x+y=55–> x=55x-y

2ºsubstituímos x por 55-y e determinamos os valor de y
x+2y=85–> 55-y+2y=85–>-y+2y=85-55–> y=30
par ordenado: (25,30)

2º método da adição

{x+y=59
{x-y=23

Ao somar os membros das 2 equações, podemos anular uma das incógnitas e obter uma equação que pode ser usada para obter o valor da outra incógnita

{x+y=59
{x-y=23
2x=82
x=41

Se x =41 substituímos o x por 41 em qualquer equação

x+y=59–> 41+y=59–>y=59-41=18
y=18

Os pares ordenados são (18,41)

Classificação de sistemas de 2 equações do 1º grau com 2 incógnitas quanto ao número de soluções

Quando um sistema de equações é possível e determinado, as retas que representam as equações se intersectam em um único ponto, que indica a solução do sistema

Exemplos

{x+y=5
{2x+2y=6’

Método algébrico

x+y=5–>x=5-y
2+2y=6–>2(5-y)+2y=6–>10-=6 10=6
(falso)

Método gráfico

x+y=5
x|y
0|5
5|0

Quando um sistema de equações é impossível, as retas que representam as equações são distintas e paralelas ( não tem ponto comum)

6CEB5112-9D72-467F-BE15-02D8978EC042

{x+2=5
{2+4y=10

Método algébrico

{x+2y=5 vezes -2
{2x+4y=10

{-2x-4y=-10
{2x+4y=10
0x+0y=0

Nesse caso qualquer par ordenado de números racionais (x,y) que satisfaz um das equações também satisfaz a outra, ou seja , há infinitas opções

Método gráfico

x+2y=5
x|y
5|0
1|2

2x+4y=10
x|y
5|0
1|2

49D68CA8-8380-4676-BA5F-277B6D465B61

Quando um sistema de equações é indeterminado, as retas que representam as equações são coincidentes ( são a mesma reta )