Capítulo 4: triângulos e quadriláteros
Paulo Yassuo Yamahata 8A
Ampliando o estudo de triângulos
Figuras congruentes
São figuras em que se colocadas em cima, de outra que de modo elas se coincidam
Congruência de triângulos
A congruência dos 6 elementos de 2 triângulos (3 lados e 3 ângulos) determina a congruência dos triângulos, que são OS CASOS de congruência
A congruência de 2 triângulos determina a congruência dos 6 elementos deles
1º caso: LAL( lado, ângulo,lado)
2ºcaso: LLL(lado,lado,lado)
3ºcaso: ALA(ângulo, lado, ângulo)
4º caso: LAA(Lado, ângulo, ângulo oposto)
Aplicação de um caso de congruência de triângulos
Em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são também congruentes
Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes
Em um triângulo equilátero, os 3 ângulos são congruentes e cada um deles tem medida de abertura de 60°(180:3=60°)
Mediana, bissetriz, altura e mediatriz relacionadas a um triângulo
A mediana de um triângulo é o segmento de reta que tem como extremidades um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice
Em todo triângulo,as 3 medianas se intersectam em um mesmo ponto, chamado de baricentro do triângulo
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo é o segmento de reta que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo interno desse vértice em 2 ângulos congruentes e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice
Em todo triângulo, as 3 bissetrizes dos ângulos internos se intersectam em um mesmo ponto, chamado de incentro do triângulo
Altura de um triângulo é o segmento de reta com uma extremidade em um vértice do triângulo e a outra extremidade no lado oposto ou no prolongamento dele, formando ângulos retos com esse lado ou com o prolongamento deles
Ortocentro de um triângulo é quando as 3 alturas do triângulo se intersectam em um mesmo ponto
Mediatriz do lado de um triângulo é a reta perpendicular a esse lado e que passa pelo ponto médio dele
Em todo triângulo, as mediatrizes dos lados se intersectam em um mesmo ponto, chamado de circuncentro do triângulo
Os triângulos e as circunferências
O incentro é o centro da circunferência que “toca”, que tangencia cada lado do triângulo em um único ponto
Mas nem sempre isso acontece
Uma aplicação de mediatriz: traçado da circunferência que passa por 3 pontos não alinhados
É sempre possível traçar uma circunferência que passa por 3 pontos não alinhados
Para que possamos traçar a circunferência que passa pelos pontos A,B e C dados, que não estão alinhados, precisamos localizar o centro dela
Construção
1º: Traçamos a mediatriz do segmento de reta AB
2º: Traçamos a mediatriz do segmento de reta AC
3º: Marcamos o ponto 0, na intersecção das 2 mediatrizes traçadas, e traçamos a circunferência com centro nesse ponto
Ampliando o estudo de quadriláteros
Quadrilátero é todo polígono de 4 lados
Paralelogramos
Trapézios
Quadriláteros que nào são nem paralelogramos nem trapézios
Paralelogramos
Propriedades dos paralelogramos
1ª: em todo paralelogramo, 2 ângulos opostos são congruentes (tem medidas de abertura iguais) e 2 ângulos não opostos são suplementares (a soma das medidas de abertura é igual a 180°)
2ª propriedade: Em todo paralelogramo, os lados opostos sào congruentes
3ª propriedade: Em todo paralelogramo, as diagonais se intersectam no ponto médio delas
Propriedade dos retângulos
1ª: As diagonais de um retângulo são congruentes
As diagonais de um retângulo sào congruentes e se intersectam no ponto médio
Propriedade dos losangos
1ª: As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango
Obs: Com essa propriedade podemos justificar a construção com régua e compasso da mediatriz de um segmento de reta
Trapézios
Trapézio é todo quadrilátero que tem apenas 2 lados paralelos
Tipos:
Trapézio retângulo é aquele que tem 2 ângulos internos retos
Trapézio isósceles é aquele que tem os 2 lados não paralelos congruentes, isto é, de medidas de comprimento iguais.
Base média de um trapézio
Em todo trapézio, a medida de comprimento da base média é igual à aritmética das medidas de comprimento das bases maior e menor do trapézio