Entropia

equilíbrio térmico

Derivada da entropia igual a 0

Isso implica que as derivadas das entropias parciais com relação à energia sejam iguais, o que nos levou a associar a temperatura

Temperatura

grandeza intensiva que caracteriza o equilíbrio térmico

equilíbrio mecânico

Volume é conservado

(∂St/∂Va) = 0

(∂Sa/∂Va) + (∂Sb/∂Va) =0

∂Sa/∂Va = ∂Sb/∂Vb

T (∂Sa/∂Va) = T (∂Sb/∂Vb)

P ≡ T(∂S/∂V)_U,N

Pressão termodinâmica

para provar isso vamos ao caso mais simples:

Gás Ideal Monoatômico

Ω = f(N) V^(N) U^(3N/2)

S = Nk lnV + (3N/2)k lnU + k lnf(N)

(∂S/∂V)_U,N = Nk/V

NkT/V = P

retomamos a Lei dos Gases Ideais

Identidade termodinâmica

S = S(U,V,N)

dS = (∂S/∂U) dU + (∂S/∂V) dV

dS = dU/T + PdV/T

dU = TdS - PdV

eq. TDS

essa é a identidade termodinâmica em processo quase estático infinitesimal

Temos: 1ªLei: dU = Q+W

dU = Q - PdV + W_outro

W_outro = 0 → TdS = Q

Logo, dS = Q/T

Se W_outro ≠ 0

dS = (Q+W_outro)/T

Exemplo:

(i) Expansão livre

ΔU=0

TdS - PdV = 0

TdS = PdV > 0

criação de entropia, mesmo sem calor. Ocorre em processos mecânicos

(ii) pistão comprimindo

W > - PdV

dU = TdS - PdV = Q + W

Q < TdS

dS > Q/T

equilíbrio difusivo

image

Depois de esperar tempo suficiente (tempo de relaxação desse sistema composto) vai acontecer o equilíbrio térmico além do equilíbrio difusivo

temperatura vai ser a mesma nos 2 lados

quando as partículas migram de um lado para o outro, de maneira a fazer a entropia total ser máxima

∂St/∂Sa = 0

∂Sa/∂Na + ∂Sb/∂Na = 0

T ∂Sa/∂Na = T ∂Sb/∂Nb

Potencial químico (µ)

grandeza que espelha para onde cada partícula vai (do potencial alto para o potencial baixo)

µ ≡ - T (∂S/∂N)_u,v

∂S = dU/T + PdV/T - µdN

dU = TdS - PdV + µdN

U = U(S,V,N)

µ = (∂U/∂N)_s,v

Exemplo:

Gás Ideal

Sólido de Einstein

Paramagneto de 2 estados

N=3 | q=3

Ω = 10 | S = k ln10

A ideia é aumentar N em 1 unidade mantendo S constante

N=4 | q = ?

Se q = 3

Ω = 20 | S = k ln20

logo nao pode

Se q = 2

Ω = 10 | S = k ln10

Logo reduzimos 1 unidade de energia

ΔU = - ϵ

µ = - ϵ/1 = - ϵ

É a energia que tenho que adicionar ao sistema para que a entropia fique a mesma

R9 - aula 10