TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Extremos relativos

Monotonía

Valor intermedio para las derivadas

Monotonía escrita

Teorema de Rolle

Teorema de la función inversa

Funciones con derivada idénticamente nula

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Teorema de la función inversa (global): Sea I un intervalo y f : I → R una función derivable en I, con f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I. Entonces f es inyectiva, J = f(I) es un intervalo y f −1 es derivable

vemos que si la derivada toma un valor positivo y un valor negativo, entonces también tomará el valor 0. Esta observación se generaliza fácilmente para obtener que la función derivada tiene la propiedad del valor intermedio: Teorema del valor intermedio para las derivadas: Sea I un intervalo y f : I → R una función derivable en I. Entonces el conjunto f 0 (I) = { f 0 (x) : x ∈ I} es un intervalo.

Dada una función real de variable real f : A → R, es natural decir que f tiene en un punto

a ∈ A un máximo absoluto, o que f alcanza su máximo absoluto en el punto a, cuando f(a)

es el máximo del conjunto f(A), es decir, f(a) > f(x) para todo x ∈ A.

.Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b] → R una función continua en [a,b]

y derivable en ]a,b[ verificando que f(a) = f(b). Entonces existe c ∈]a,b[ tal que f 0

Sea I un intervalo y f : I → R una función continua en I y derivable en I ◦

(i) f es creciente si, y sólo si, f 0

(x) > 0 para todo x ∈ I

(ii) f es decreciente si, y sólo si, f 0

(x) 6 0 para todo x ∈ I

Sea I un intervalo y f : I → R una función continua en I y derivable en I ◦ con f 0 (X)=0
Para todo x E |
Entonces f es constante

Dada una función f : I → R derivable en el intervalo I, consideremos las siguientes afirmaciones: (i) f : 0

(x) 6= 0 para todo x ∈ I.

(ii) f es inyectiva (equivalentemente, es estrictamente monótona).

Se verifica que (i) ⇒ (ii), pero (ii) ; (i).