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Teorema del Valor Medio, existe un número c dentro de (a,b) - Coggle…
Teorema del Valor Medio
es el medio que conecta la razón de cambio promedio de una función con su derivada 
Establece que
cualquier intervalo [a,b]
cualquier función diferenciable f
Extremos relativos
es un máximo relativo
es un punto en el que la función cambia de dirección de creciente a decreciente
es un mínimo relativo
es un punto en el que la función cambia de dirección de decreciente a creciente
ejemplo
f(x) = x2- 2x, con dominio [0, 4].
Extremos absolutos
Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos si
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
ejemplo
f(x) = x2- 2x, con dominio [0, 4].
Teorema de Rolle
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Monotonía
consiste
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-
-
caracteristica
(ii) f es decreciente si, y sólo si, f¨(x) (menor igual)0 para todo x ∈ 1°
(i) f es creciente si, y sólo si, f¨
(x) > _0 para todo x ∈ 1°
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-
Monotonía estricta
-
si x < y, entonces f(x) < f(y)
De forma análoga, f es estrictamente monótona decreciente si se cumple que si x < y entonces f(x) > f(y).
Dada una función f : I → R derivable en el intervalo I, consideremos las siguientes
afirmaciones:
-
(ii) f es inyectiva (equivalentemente, es estrictamente monótona).
Se verifica que (i) ⇒ (ii), pero (ii) ; (i).
Teorema de la función inversa
proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho punto.
Teorema de la función inversa (global)
Sea I un intervalo y f : I → R una función derivable en I, con f´ (x) /= 0 para todo x ∈ I. Entonces f es inyectiva, J = f(I) es un intervalo y f −1 es derivable en J con f-1 (y) = 1/f ´ (f-1(y)) para todo y ∈ J.
Teorema de la función inversa (local)
Sea I un intervalo y f : I → R una función derivable en I. Supongamos que la función derivada f 0 es continua en un punto a ∈ I, con f 0 (a) 6= 0. Entonces existe δ > 0 tal que, llamando g a la restricción de f al intervalo Iδ = I∩]a − δ,a + δ[, se tiene que g es inyectiva, Jδ = g(Iδ ) es un intervalo y g−1 es derivable en Jδ
Valor intermedio para las derivadas
teorema
Sea I un intervalo y f : I → R una función derivable en I. Entonces el conjunto f (I) = {f (x) : x ∈ I} es un intervalo. .
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existe un número c dentro de (a,b)
Tal que f´ (c) es igual a la razón de cambio promedio de la función (a,b)