Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
บทที่ 4 การเคลื่อนที่วิถีโค้ง - Coggle Diagram
บทที่ 4 การเคลื่อนที่วิถีโค้ง
การเคลื่อนที่แบบโพเจกไทล์
การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ 2 แนวตั้งฉากกัน และเกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน เช่น การขี่จักรยานผาดโผน เป็นเส้นทางโค้งจากเนินด้านหนึ่งไปยังเนินอีกด้านหนึ่ง การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกขว้างขึ้นไปในอากาศในแนวที่ทำมุม θ ใด ๆ กับแนวราบด้วยอัตราเร็ว u เราสามารถวิเคราะห์ความเร็วการเคลื่อนที่ของวัตถุออกมาได้ดังภาพ
ภาพที่ 1 ขว้างวัตถุแนววิถีโค้ง
ภาพที่ 2 แสดงแนวการเคลื่อนที่และความเร็วที่ตำแหน่งใด ๆ
ความเร็วต้นในแนวราบ = ucos θ
และความเร็วต้นในแนวดิ่ง = usin θ
การที่วัตถุมีความเร็วต้นถึงสองแนวเช่นนี้ ทำให้วัตถุมีการเคลื่อนที่ในแนวทั้งสองพร้อมกัน คือ การเคลื่อนที่ในแนวราบและการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง เมื่อรวมการเคลื่อนที่ทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน แนวการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ปรากฏจะเป็นวิถีโค้งในอากาศ
เนื่องจากการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ประกอบไปด้วยการเคลื่อนที่ใน 2 แนว ทำให้แบ่งการคำนวณเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ออกได้เป็น 2 ส่วนคือ การคำนวณในแนวราบและการคำนวณในแนวดิ่ง
การวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบ
โดยทั่วไป การคำนวณกรณีของการขว้างวัตถุขึ้นไปในอากาศด้วยความเร็วต้น u และทำมุม θ ใด ๆ กับแนวราบเราจะพิจารณาโดยถือว่าไม่มีแรงมากระทำต่อวัตถุในแนวราบ เราจึงพิจารณาการเคลื่อนที่นี้เช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุด้วยความเร็วคงที่ และใช้สมการคำนวณเป็นดังนี้
ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา
การวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวดิ่ง
จากภาพที่ 3 แสดงการการเปรียบเทียบระยะทางในแนวดิ่งของวัตถุที่มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งอย่างเสรีด้วยความเร็วต้นเท่ากับศูนย์ กับวัตถุที่มีการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่มีความเร็วต้นอยู่ในแนวระดับ อันมีผลทำให้ความเร็วต้นในแนวดิ่งของวัตถุมีค่าเป็นศูนย์เช่นกัน โดยวัตถุทั้ง 2 ในภาพเริ่มต้นเคลื่อนที่พร้อมกันจากภาพแสดงให้เห็นว่า เมื่อเวลาผ่านไป ระยะทางในแนวดิ่งของวัตถุทั้งสองเท่ากันทุกขณะ ทั้งนี้ทั้งการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งอย่างเสรีและการเคลื่อนแบบโพรเจกไทล์ ต่างก็เป็นการเคลื่อนที่ภายใต้แรงความโน้มถ่วงของโลก
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า การคำนวณในส่วนแนวดิ่งของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ทำได้ โดยใช้วิธีการคำนวณของการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งอย่างเสรี นั่นคือ
1) ต้องกำหนดเครื่องหมายของปริมาณเวกเตอร์ทุกชนิด
2) ความเร่งของวัตถุมีค่าเท่ากับ g ซึ่งมีทิศลงเสมอ
จากที่กล่าวมาจะเห็นได้ว่า การคำนวณในแนวราบและแนวดิ่งต่างก็เป็นอิสระซึ่งกันและกันซึ่งถ้าทราบความเร่งในแต่ละแนวแล้วก็สามารถหาปริมาณต่าง ๆ ในแนวนั้นได้จากสมการของการเคลื่อนที่ในแนวตรง ได้แก่
การคำนวณหาระยะทางในแนวราบ
จากการพิจารณาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่มีความเร็วต้น u ทำมุม θ กับแนวราบ การเคลื่อนที่นี้มีอัตราเร็วต้นในแนวราบและแนวดิ่งเป็น ucosθ และ usinθ ตามลำดับ
สำหรับการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง เมื่อกำหนดให้ปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศลงเป็นบวก ก็จะคำนวณหาเวลาของการเคลื่อนที่ได้จากสมการ
แทนค่าโดยให้ sy เป็นระยะทางในแนวดิ่ง จะได้
ถ้าการเคลื่อนที่เกิดจากการขว้างวัตถุจากพื้นราบ และวัตถุตกลงมายังพื้นราบเดิม ก็จะได้ระยะทางในแนวดิ่ง หรือ sy เป็นศูนย์
จะทำให้ได้เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่เป็น
สำหรับการเคลื่อนที่ในแนวราบ หากถือว่าไม่มีแรงภายนอกในแนวราบมากระทำ และให้ sx เป็นระยะทางของการเคลื่อนที่ในแนวราบนี้ จะได้
sx = (ucosθ ) t
จัดรูปสมการใหม่ จะได้
จากสมการข้างต้นจะเห็นว่า สำหรับอัตราเร็วต้นค่าหนึ่ง ๆ ระยะทางในแนวราบของวัตถุมีค่าขึ้นกับ sin2θ โดยค่าสูงสุดของระยะทางในแนวราบคือ u2/g ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ
sin2 θ = 1
= sin90o
หรือ 2θ = 90o
θ = 45o
นั่นคือ สำหรับอัตราเร็วต้นค่าหนึ่ง ๆ ถ้าทิศทางของความเร็วต้นทำมุม 45o กับแนวราบจะได้การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่มีระยะทางในแนวราบมากที่สุด ในทางกลับกัน ถ้าต้องการขว้างวัตถุให้เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ และให้ระยะทางในแนวราบของวัตถุมีค่าหนึ่ง ความเร็วต้นที่น้อยที่สุดที่ใช้ในการขว้างวัตถุจะเกิดขึ้นเมื่อทิศทางของความเร็วต้นทำมุม 45o กับแนวราบ
ดังนั้นจึงสรุปเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ได้ว่า
1) แนวระดับ ความเร็วคงตัว ความเร่งเท่ากับศูนย์
2) แนวดิ่ง ความเร็วไม่คงตัว ความเร่งคงตัวเท่ากับ g
3) แนวโค้งโพรเจกไทล์ ความเร็วไม่คงตัว (คิดแนวระดับ + แนวดิ่ง)
4) ทั้งแนวระดับ และแนวดิ่ง ใช้เวลาในการเคลื่อนที่เท่ากัน
5) ที่จุดสูงสุด อัตราเร็วหรือความเร็ว จะเท่ากับอัตราเร็ว หรือความเร็วของแนวระดับ เพราะของแนวดิ่งเท่ากับศูนย์
6) เมื่อกล่าวถึงอัตราเร็วหรือความเร็วจะหมายถึงอัตราเร็ว หรือความเร็วในแนวโค้งโพรเจกไทล์ ซึ่งเป็นผลจากการคิดรวมแนวระดับแนวดิ่งเข้าด้วยกัน
7) วัตถุเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ มีแรงดึงดูดของโลกเพียงแรงเดียวเท่านั้นที่กระทำกับวัตถุ
จากสมการ
8) ถ้า u คงที่ ค่า sx จะมากที่สุดเมื่อ sin2θ มีค่ามากที่สุดนั่นคือ sin2θ = 1
9) ถ้า sx คงที่ ค่า u จะน้อยที่สุดเมื่อ θ = 45o ด้วยเช่นกัน
10) ถ้า u คงที่ ค่า sx จะเท่ากันสำหรับทกมุม θ คู่ใด ๆ ที่บวกกันได้ = 90o เช่น 30o กับ 60o ได้ sin 30ocos 30o = sin 60ocos 60o, 37o กับ 53o ได้ sin 37ocos 37o = sin 53ocos 53o
ตัวอย่างที่ 1
วัตถุก้อนหนึ่งถูกยิงขึ้นในทิศทำมุม 30o กับแนวระดับด้วยความเร็วต้น 80 เมตร/วินาที จงหาว่าเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ไปได้ 3 วินาที จะมีความเร็วเท่าไร และกินเวลานานเท่าไรวัตถุนั้นจึงตกถึงพื้น
ตัวอย่างที่ 2
ลูกบอลถูกปาขึ้นในทิศทำมุมเงย 30 ด้วยความเร็ว 30 เมตร/วินาที จงหาว่าอีกนานเท่าไรลูกบอลจึงขึ้นได้สูง 10 เมตร
การเคลื่อนที่แบบวงกลม
การเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นวงกลมรอบศูนย์กลาง เกิดขึ้นเนื่องจากวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่จะเดินทางเป็นเส้นตรงเสมอ แต่ขณะนั้นมีแรงดึงวัตถุเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลม เรียกว่า แรงเข้าสู่ศูนย์กลางการเคลื่อนที่ จึงทำให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบศูนย์กลาง เช่น การโคจรของดวงจันทร์รอบโลก
คาบ เวลา และความถี่ (period & frequency) ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่
1.คาบ (Period) "T" คือ เวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ หน่วยเป็นวินาที่/รอบ หรือวินาที
2.ความถี่ (Frequency) "f" คือ จำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ภายในเวลา 1 วินาที
หน่วยเป็นรอบ/วินาที หรือ เฮิรตซ์ (Hz)
การเคลื่อนที่แบบวงกลมจัดเป็นหนึ่งในการเคลื่อนที่แบบ 2 มิติ ในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่จะทำการศึกษานั้น ความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมจะมีค่าคงที่หรือเท่ากันตลอดการเคลื่อนที่เรียกการเคลื่อนที่วงกลมแบบนี้ว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุจะมี แรงกระทำตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วเสมอตลอดการเคลื่อนที่ วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนววงกลม แต่ยังคงมีความเร่งเกิดขึ้น ซึ่งความเร่งจะขึ้นกับการเปลี่ยนเวกเตอร์ความเร็ว ซึ่งเวกเตอร์ความเร็วจะมีทิศสัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศตั้งฉากกับแนวรัศมีวงกลม เรียกความเร่งชนิดนี้ว่า ความเร่งแนวสัมผัสวงกลม เวกเตอร์ความเร่งในการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะมีทิศตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางวงกลมเสมอ เราเรียกความเร่งนี้ว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง
ตัวอย่างข้อที่ 1
ตัวอย่างข้อที่ 2
เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ คาบ และความถี่จะมีค่าคงที่ โดยคาบและความถี่สัมพันธ์กันโดย
อัตราเร็วเชิงเส้น (v) คือ ระยะทางตามแนวเส้นรอบวงของวงกลมที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ ในหนึ่งหน่วยเวลา ( m/s)
วัตถุที่เคลื่อนที่ เป็นวงกลมจะเกิดความเร่ง 2 แนว คือ ความเร็วแนวเส้นสัมผัสวงกลม และความเร่งแนวรัศมีหรือความเร่งสู่ศูนย์กลาง
การหาแรงที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลม จาก กฎการเคลื่อนที่ ข้อที่สองของนิวตัน และการเคลื่อนที่แบบวงกลม แรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุกับความเร่งของวัตถุจะมีทิศทางเดียวกัน คือทิศพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลาง ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ว่า
อัตราเร็วเชิงมุม (Angular speed) อัตรา เร็วของวัตถุที่ เคลื่อนที่แบบวงกลมที่กล่าวมาแล้วนั้นคือความยาวของเส้นโค้งที่วัตถุเคลื่อน ที่ได้ในเวลา 1 วินาที ซึ่งเราอาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า อัตราเร็วเชิงเส้น (v)
