Magnitudes Vectoriales
Los Vectores
El vector desplazamiento
El vector velocidad
Suma gráfica de vectores
Composición de movimientos
Componentes de un vector
Suma analítica de vectores
Un vector es un segmento dirigido cuya longitud es proporcional al valor numérico de la medida que representa. Las magnitudes vectoriales se re presentan por medio de vectores. La posición de un objeto con respecto a un punto es una magnitud vectorial. Un vector es un segmento dirigido cuya longitud es proporcional al valor numérico de la medida que representa. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de vectores. La posición de un objeto con respecto a un punto es una magnitud vectorial.
Se llama vector desplazamiento ⃗ = Δr = ⃗ ⃗ - ⃗ ⃗, desde P1, hasta P2 al vector que tiene su
origen en la posición inicial P1 y su punto final coincide con la posición final P2 del móvil.
Velocidad instantánea
Velocidad media
Para el movimiento rectilíneo hemos definido la velocidad media adquirida por un objeto
como
La dirección del vector velocidad media coincide con la dirección del vector desplazamiento
Todo vector tiene una norma y una dirección. La norma siempre es un número positivo que se expresa en las unidades de la magnitud que representa. Por ejemplo, la norma de la velocidad en el Sistema Internacional de Unidades, se expresa en m/s y corresponde a lo que hemos llamado rapidez. La dirección de un vector está determinada por la dirección de la recta que lo contiene. Por ejemplo, la velocidad en un movimiento rectilíneo, coincide con la dirección de la recta sobre la cual se pro duce este movimiento. La dirección está representada por el ángulo que forma el vector con alguna dirección tomada como referencia. En la siguiente gráfica mostramos los elementos mencionados:
• La norma es la longitud del vector.
• La dirección es el ángulo que el vector forma con la parte positiva del eje x.
Supongamos que un cuerpo se traslada desde el punto P hasta el punto P1, en un intervalo de tiempo Δt1; en este caso, el vector desplazamiento es d1. Si tomamos intervalos de tiempo cada vez más cortos, los vectores desplazamiento se van “ciñendo” a la trayectoria. Como la velocidad tiene la misma dirección del desplazamiento, para intervalos de tiempo cada vez más cortos, la velocidad media se aproxima a la velocidad instantánea, cuya dirección es tangente a la trayectoria. El vector velocidad instantánea tiene las siguientes características: • Norma. Medida de la velocidad, también llamada rapidez.
• Dirección. La dirección de la velocidad instantánea está determinada por la tangente a la trayectoria en cada punto. La flecha del vector indica la dirección en la cual se produce el movimiento.
Para cada punto de la trayectoria, el vector velocidad instantánea se representa con origen en dicho punto.
Es posible definir operaciones entre vectores. Por ejemplo, la figura 4. Para ilustrar el significado de la suma de dos vectores, supongamos que un objeto parte del punto O y se desplaza hasta el punto A ( d1->). Una vez se encuentra en el punto A, se desplaza hasta el punto B (d2->).
Para determinar el desplazamiento desde el punto O hasta el punto B, trazamos un vector con origen en el punto O y punto final en B. El vector con punto de partida en O y punto final en B es el vector suma d1-> + d2->
Para determinar gráficamente la suma de dos vectores se hace coincidir en el punto final de uno de ellos el origen del otro vector, como se muestra en la figura de la izquierda, sin cambiar ni la norma ni la dirección de cada uno; el vector suma se obtiene al unir el origen del primero con el punto final del segundo.
Principio de independencia Si un móvil está sometido a dos movimientos, su cambio de posición es independiente de si la ocurrencia de los movimientos se produce de forma sucesiva o de forma simultánea. Esto significa que si, debido a un movimiento la velocidad es ⃗, y debido a otro movimiento la velocidad es v2 ->, la velocidad v -> del objeto, resultado de la composición de los dos primeros es:
Supongamos que un avión se mueve en la dirección mostrada en la figura 10 de la página siguiente. Su velocidad es el resultado de la composición de dos movimientos, uno en la dirección del eje x y otro en la dirección del eje y. En este caso decimos que la velocidad tiene dos componentes rectangulares, una en cada eje. A la componente sobre el eje x la llamamos Vx Y a la componente sobre el eje y la llamamos Vy.
A partir de las componentes expresamos el vector V-> como:
La norma del vector V-> se relaciona con las componentes por medio del teorema de
Pitágoras así:
Las componentes del vector v se relacionan con la norma de v y con el ángulo a mediante
las siguientes expresiones trigonométricas:
de donde:
Para sumar dos vectores, primero se hallan sus componentes rectangulares y luego, se
suman.
Paso 1. Descomposición de los vectores
Consideremos un avión que se mueve cuando hay viento. Para determinar la velocidad v -> del avión con respecto a la Tierra, sumamos la velocidad que tendría el avión cuando no corre viento Va -> con la velocidad del viento Vv ->. Ahora resolveremos la situación a partir de las componentes de los vectores velocidad Va -> y Vv ->, formando como referencia el plano cartesiano.
La velocidad del avión Va -> tiene dos componentes, una sobre el eje x, a la que llamamos vax y otra sobre el eje y, a la que llamamos vay Por ende, escribimos el vector velocidad del avión como:
La velocidad del viento Vv-> tiene dos componentes Vvx y Vvy, por ende, escribimos el vector velocidad del viento como:
Paso 2. Suma de las componentes
A continuación se muestra el vector velocidad, V-> = Va-> + Vv ->, del avión con respecto a la Tierra.
Este vector tiene dos componentes una sobre el eje x, Vx y otra sobre el eje y, Vy. Por ende, escribimos el vector velocidad del avión con respecto a la Tierra como:
Tenemos que las componentes del vector suma v = v + v, son:
La componente en el eje x del vector suma es igual a la suma de las componentes en el eje x. La componente en y del vector suma es igual a la suma de las componen tes en y de los vectores.