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Operaciones con Transformaciones Lineales - Coggle Diagram
Operaciones con Transformaciones Lineales
Teorema.
. La suma de transformaciones lineales S+T : V → V′
es también una transformación lineal.
En estas notas definiremos diferentes operaciones que se pueden realizar con transformaciones lineales. Definición de suma de transformacionales lineales. Sean S y T dos transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V′ , ambos definidos sobre un campo K. La suma S + T de las transformaciones lineales se define como:S + T : V → V′
(S + T)(~v) ≡ S(~v) + T(~v) ∀~v ∈ V
Tipos de operaciones
Propiedad Distributiva de la Suma de Transformaciones Lineales Respecto a la Multiplicación por Escalar
Se necesita probar que λ(R + S) = λ S + λ R, por lo tanto
λ(R + S)] (~v) = λ [(R + S)(~v)] = λ [R(~v) + S(~v)] = λ R(~v) + λ S(~v) = (λ R)(~v) + (λ S)(~v)
= [λ R + λ S] (~v) ∀~v ∈ V
Multiplicación por escalar de transformacionales lineal
Sea S una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V′,ambos definidos sobre el campo K
Definida por λS : V → V′
(λS)(~v) ≡ λ [S(~v)] ∀~v ∈ V.
Teorema La multiplicación por escalar de una transformación lineal λS : V → V′ es también una transformación lineal
Propiedades
Conmutativa de la suma
Existencia de un idéntico aditivo
Asociativa de la suma
Existencia de un inverso aditivo
Propiedad Distributiva de la Suma de Escalares Respecto a la Multiplicación por
Escalar,
se necesita probar que (λ + µ)R = λ R + µ R, por lo tanto
[(λ + µ)R] (~v) = (λ + µ) R(~v) = λ R(~v) + µ R(~v) = (λ R)(~v) + (µ R)(~v) = (λ R + µ R)(~v) ∀~v ∈ V
Propiedad Pseudoasociativa
se necesita probar que (λ µ)R = λ(µ R), por lo tanto
[(λ µ)R] (~v) = (λ µ) R(~v) = λ [µ R(~v)] = λ (µ R) (~v) ∀~v ∈ V
Propiedad del idéntico multiplicativo del campo.
Sea 1 ∈ k el idéntico multiplicativo decampo, entonces, se tiene que para todo S : V → , se tiene que probar que 1 S = S
(1 S) ~v = 1 [S(~v)] = S(~v) ∀~v ∈ V
Definición de Composición de Transformaciones Lineales
Sean S : V → V′ y T : V′ → V′′
dos transformaciones lineales. El producto o composición de transformaciones lineales, T S, es el mapeo
T S : V → V′′ (T S)(~v) = T[S(~v)] ∀~v ∈ V.
Teorema. El producto T S de dos transformaciones lineales S : V → V′ y T : V′ → V′′ es una
transformación lineal de V → V′′