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Núcleo e imagen de una transformación lineal - Coggle Diagram
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Transformación Lineal
Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T:
Fórmula :im(T) := {y ∈ W : ∃x ∈ V tal que y = T(x)}.
Proposición 2:La imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio. Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L(V, W). Entonces im(T) es un subespacio de W.
Proposición 1 :Núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio. Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L(V, W). Entonces ker(T) es un subespacio de V.
Núcleo de una transformación lineal
A una transformación lineal f : V → W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen.
Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = {v ∈ V / f(v) = 0} = f−1 ({0}).
Tipos
Transformación nula
La transformación nula 0: V → W está definida mediante la fórmula
0(v) = 0W ∀v ∈ V. Es fácil ver que ker(0) = V , im(0) = {0W }
Transformación identidad
La transformación identidad, I : V → V está definida mediante la fórmula
I(v) = v ∀v ∈ V..Obviamente ker(I) = {0}, im(I) = V
Teorema de la dimensión
El teorema de las dimensiones establece una relación aritmética sencilla entre la dimensión de V y la dimensión del núcleo y de la imagen.
Sea F:V→W transformación, lineal.. Si dim(V)=n (finita), entonces:
dim(V)=dim(Nu(F))+dim(Im(F))
Imagen de una transformación lineal
