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Análisis de la Varianza de dos factores con replicaciones: Caso…
Análisis de la Varianza de dos factores con replicaciones:
Caso Balanceado
¿Cuál es el tiempo de coagulación (en minutos) del plasma sanguíneo para 3
tratamientos y 2 concentraciones de adrenalina mezclada con el plasma?
Para cada combinación de tratamiento y concentración de adrenalina, se tomaron 3 observaciones
independientes.
En este caso tenemos dos factores:
Factor A:
Tratamiento (con tres niveles)
Factor B:
Concentración (dos niveles)
y dentro de cada casillero tenemos la misma cantidad de replicaciones K, en este caso K=3.
Los datos se disponen en una tabla de doble entrada (una entrada para el factor A y otra para B) y en la que en cada casilla tendremos las replicaciones de cada una de las combinaciones de los factores A y B.
Para cada observación se puede considerar un
modelo no aditivo
Escribimos cada observación Yijk puede escribirse como:
Podemos pensar que cada nij es una suma de 4 términos:
Una media general, u
Efecto del nivel i del Factor A: oi
Efecto del nivel j del Factor B: Bj
Interacciones ij: Yij
Cada observación
Yijk
puede escribirse como:
donde
Eijk
representa el error, la media
nij
(que depende del cada nivel i del Factor A (Filas) y de cada j nivel del Factor B (Columnas)) y el subíndice k identifica la replicación dentro de cada casillero.
Asumiremos que Eijk-N(0, o2) independientes.
Cuando el número de observaciones dentro de cada casillero es constante decimos que el diseño es balanceado. Vamos a considerar el caso balanceado.
Estimación
Tenemos que minimizar
Obtenemos el estimador de mínimos cuadrados de nij resolviendo
Y queda
Notemos que en este caso la matriz de diseño X es:
Luego, por el Teorema de Gauss-Markov, los estimadores de mínimos cuadrados de u , ai
,Bj y Yij los obtenemos reemplazando a nij por su estimador nij. Así se obtiene:
Resultando
La hipótesis de igualdad de los efectos de los I niveles del Factor A (filas) puede plantearse
mediante la hipótesis nula:
la hipótesis de igualdad de los J niveles del Factor B (columnas) se plantea como:
mientras que la ausencia de interacciones, la testearíamos a través de la hipótesis
La suma de cuadrados puede ser reescrita como:
y usando las restricciones
Y queda
