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SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES - Coggle Diagram
SISTEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES
Solución general y solución particular de sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales.
Aquí x se llama vector propio de la matriz M.
Solución general
En general podemos decir que la solución de un sistema de ecuación diferencial es llamada solución general si los valores de las constantes no se obtienen en la solución final. La misma solución puede convertirse en una solución particular
Sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales.
Para estudiar las relaciones complejas, requerimos de varias ecuaciones diferentes para definir diferentes variables, Tal sistema es el sistema de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales puede denotar como.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos.
Sabemos que una ecuación diferencial lineal es de la forma
Si esta misma ecuación se transforma en la forma
estos sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices.
Métodos de solución para sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales utilizando la transformada de Laplace.
Es conocido que dado un sistema de ecuaciones diferenciales lineales simultáneas con coeficientes constantes se puede aplicar el método de Laplace para resolverlo. Se hallan las transformadas de Laplace y el problema queda reducido a la resolución de un sistema algebraico de ecuaciones de las funciones determinantes, y aplicando la transformación inversa se determinan las funciones generatrices, soluciones del sistema dado.
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes
de la forma
donde yi^n (x) indica la derivada de orden n de yi(x) i=1,...,k y
un método conocido, (Rubio Sanjuan, 1951), es aplicar la transformada de Laplace a cada
ecuación del sistema (1) . Recordar que la transformada de Laplace se define como
y que integrando (2) por partes repetidas veces, se llega a la conocida propiedad
De esa forma, aplicando transformada de Laplace a (1) queda determinado un sistema de ecuaciones algebraicas
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Ejemplo
En el intervalo 0 e infinito bajo las condiciones y(0)=1 ; z(0)=-2
La solución exacta del sistema es
Aplicamos la transformada de Laplace a ambas ecuaciones del sistema y se llega a
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