SISTEMI DI EQUAZIONI

LINEARI
insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite che devono essere soddisfatte contemporaneamente da una coppia ordinata di numeri reali

NON LINEARI

DETERMINATO
ha un numero finito di soluzioni
le rette sono incidenti

a/a'=/=b/b'

IMPOSSIBILE
non ha soluzioni
le rette sono parallele

INDETERMINATO
ha infinite soluzioni
le rette si sovrappongono

INTERO
tutte le equazioni che lo compongono sono intere

FRAZIONARIO
ha almeno un'equazione frazionaria

si dice grado di un sistema intero il prodotto di gradi delle sue equazioni

METODO DI SOSTITUZIONE

  • risolvere una delle due equazioni rispetto ad una incognita
  • sostituire l'espressione trovata nell'altra equazione, ottenendo l'equazione risolvente
  • sostituire il valore trovato nella prima equazione e trovare i valori delle incognite

METODO DEL CONFRONTO
ricavare l'equazione risolvente risolvendo entrambe le equazioni del sistema rispetto alla stessa incognita e uguagliando le espressioni ottenute

METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

  • ridurre le equazioni in forma normale
  • fare in modo che nelle due equazioni due termini uguali e opposti
  • sommare o sottrarre membro a membro le due equazioni e risolvere l'equazione ottenuta
  • determinare i valori dell'altra incognita per addizione o sottrazione o per sostituzione

METODO DI CRAMER
dato un sistema di tipo (ax+by=c, a'x+b'y=c'
calcolare i determinanti e trovare le soluzioni

a/a'=b/b'=/=c/c'

a/a'=b/b'=c/c'

TEOREMA DI CRAMER

  • DETERMINATO ->D=/=0, x=Dx/D, y=Dy/D
  • IMPOSSIBILE -> D=0, Dx=/=0 o Dy=/=0
  • INDETERMINATO -> D=Dx=Dy=0

SISTEMI LETTERALI

  • utile usare il metodo di cramer
  • trovare i determinanti
  • si calcola per quali valori del parametro il determinante D del sistema è diverso da 0
  • si esaminano i casi esclusi dopo aver trovato le soluzioni del sistema
  • si riassumono i risultati della discussione

SISTEMA DI SECONDO GRADO
costituito da un'equazione di primo grado e una di secondo

METODO DI SOSTITUZIONE

  • si ricava una delle due incognite dell'equazione di primo grado
  • si sostituisce nell'equazione di secondo grado l'espressione trovata, ottenendo l'equazione chiave o risolvente
  • si risolve l'equazione chiave
  • si sostituiscono le soluzioni trovate nell'equazioni di primo grado per trovare l'altera incognita

SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

METODI DI RISOLUZIONE

  • metodo di sostituzione
  • metodo di addizione o sottrazione
  • opportune scomposizioni

INTERPRETAZIONE GRAFICA

RETTA - CIRCONFERENZA
(a^2+y^2 = r^2
(ax+by+c=0 . .

RETTA - IPERBOLE
(xy=k . . . . .
(ax+by+c=0

RETTA - PARABOLA
(y=ax^2+bx+c
(a'x+b'y+c=0

SISTEMI SIMMETRICI
sistemi le cui equazioni rimangono equivalenti scambiando le incognite